2. Следствия теорем сложения и умножения

5.16.Вероятность суммы двух совместных событий

Мы рассмотрели ранее теорему о вероятности суммы двух несовместных событий т.е. P(АВ) = 0. Рассмотрим здесь теорему о сумме двух совместных событий, которая будет использоваться теорема о вероятности произведения двух событий для двух возможных случаев (для зависимых и независимых событий). Напомним, что два события называются совместными, если появление одного, не исключает появление другого т.е. P(АВ) ≠ 0.

Теорема. Вероятность появления суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

P(А + В) = P(A) + P(B) − P(АВ)

При этом

1) Если события а и в несовместны, то

Р(АВ) = 0.

2) Если события а и в совместны и зависимы то

Р(АВ) = Р(А)Р_А (В) = Р (В) Р _В(А) .

3) Если события а и в совместны и независимы то

Р(АВ) = Р(А)  Р(В).

Используем эту формулу для решения примера

П р и м е р. Стреляют два орудия. Пусть события

А₁ ={ попадет первое орудие }; А₂ = { попадет второе орудие }; имеют вероятности P(А₁) = р1 = 0.7, второго P(А₂) = р2 = 0.8, Вычислить вероятность того, что попадет хотя бы одно из орудий.

Решение 1.

Попадание каждым из орудий есть по смыслу задачи события совместные и независимые. Поэтому вероятность совместного попадания равна

Р(АВ) = 0.7 0.8 = 0.56.

Искомая вероятность равна

P(А + В) = P(A) + P(B) − P(АВ) = 0.7+0.8 −0.56 = 0.94

Решение 2.

Эту задачу можно решить с помощью формулы для противоположных событий.

События С = { хотя бы одно попало } и D = { ни одно не попало }

Вероятность события D находим

Р(D) = (1−0.7) (1−0.8) = 0.3 0.2 = 0.06

Тогда вероятность события C равна

Р(С) = 1 − 0.06 = 0.94

Результаты двух решений совпали, что и следовало ожидать.

5.17.Формула полной вероятности

Пусть событие А наступает при условии появления одного из двух несовместных образующих полную группу событий Н₁ и Н₂ и известны их вероятности Р(Н₁), Р(Н₂). Пусть также известны условные вероятности Р_Н1 (А), Р_Н2 (А) появления события А при появлений событий Н₁ и Н₂.

Как найти безусловную вероятность Р(А) ? Ответ дает теорема.

Теорема полной вероятности. Безусловная вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий Н₁ или Н₂ , образующих полную группу равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

Р(А) = Р(Н₁)Р_Н1(А) + Р(Н₂)Р_Н2(А)

П р и м е р.

Пусть подбрасываются две монеты. Пусть события Н₁= ОО + ОР, Н₂ = РО + РР. Вычислить вероятность события А = ОО по формуле полной вероятности.

Решение.

Очевидно Н₁ и Н₂ несовместны и образуют полную группу. Ясно также, что они равновозможны и вероятности их тогда равны

Р(Н₁) = 1/2 , Р(Н₂) = 1/2.

Если произошло событие Н₁, то условная вероятность выпадения ОО есть очевидно Р_Н1(ОО) = 1/2.

Если произошло событие Н₂, то условная вероятность выпадения ОО есть очевидно Р_Н2(ОО) = 0.

По формуле полной вероятности имеем

Р(А) = Р(Н₁)  Р_Н1(А) + Р(Н₂)  Р_Н2(А) = (1/2)  (1/2) + 0  (1/2) = 1/4

П р и м е р. Имеется два ящика деталей. Вероятность того что взятая наугад из первого ящика деталь окажется стандартной равна 0.8, а из второго − 0.9. Проводят эксперимент. Берут наугад любой из ящиков и наугад вытаскивают из него деталь. Найти вероятность того, что вынутая деталь окажется стандартной.

Решение. Эта задача по существу дела не отличается от предыдущей. Пусть А = {вынутая деталь стандартна}. Н₁ = {взят первый ящик}, Н₂ = {взят второй ящик}.

Вычисляем

Р(Н₁) = 1/2 , Р(Н₂) = 1/2, Р_Н1(А) = 0.8, Р_Н2(А) = 0.9.

Р(А) = Р(Н₁)  Р_Н1(А) + Р(Н₂)  Р_Н2(А) =

= (1/2)  (0.8) + (1/2)  (0.9) = 0.85.

П р и м е р. Один , выбранный наугад, из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.

Решение.

В задаче предполагается, что события выбора одного из стрелков равновозможны, поэтому вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна . Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

− для первого стрелка:

−для второго стрелка:

− для третьего стрелка:

Искомая вероятность равна: