5.12.События независимые в совокупности.

Мы будем всегда иметь дело с событиями независимых в совокупности. В предыдущем параграфе дано определение двух независимых событий. Введем ещё два определения для событий.

Рассмотрим два определения.

1) Пусть в некотором эксперименте появляются несколько событий, например А, В, С. Если А и В, В и С, А и С независимы, то все три называются попарно независимыми.

Это определение распространяется на любое количество событий. Пусть в эксперименте появляются события А₁, А_{2 ,} …, А_n.

Если любые два события в эксперименте являются независимыми, то события называются попарно независимыми.

2) Несколько событий называются независимыми в совокупности, если они попарно независимы и независимы каждое из событий и всевозможные произведения остальных.

Другими словами Несколько событий называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий (одного или нескольких в любой комбинации и любом числе).

Если А, В, С независимы в совокупности, то независимы события

(А и В), (В и С), (А и С), (А и ВС), (В и АС), (С и АВ).

Из независимости в совокупности следует попарная независимость. Обратное утверждение неверно. Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Например, если А, В, С независимы в совокупности, то они и попарно независимы (пример можно посмотреть в [ с.]). Обратное утверждение неверно. Если А, В, С попарно независимы, то отсюда не следует их независимость в совокупности.

Замечание 1. Чаще всего встречаются события независимые в совокупности, по крайней мере здесь мы будем рассматривать только такие события.

Замечание 2. Важно сравнить понятия совместности (несовместности) событий и зависимости (независимости) событий. Для несовместных событий вводится только понятие попарной несовместности. Понятие несовместности в совокупности отсутствует, оно излишне.

5.13.Теорема умножения для n независимых событий

Именно для случая независимых в совокупности событий справедлива теорема умножения вероятностей.

Теорема. Пусть в эксперименте могут появляться совместные, независимые в совокупности события А₁, А_{2 ,} …, А_n, тогда вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий

.

П р и м е р. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет одновременно. Найти вероятность того, что все три монеты выпадут орлом, т.е. появится событие OOO.

Решение. Вероятность выпадения орла на каждой из монет равна 1/2. Три события независимы в совокупности, поэтому вероятность выпадения ООО равна P(OOO) = 1/2 1/2 1/2 =1/8.

П р и м е р. Имеется три ящика с 10 деталями каждый. В первом ящике 7, во втором 8, в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Вычислить вероятность того, что все вынутые три детали окажутся стандартными.

Р е ш е н и е Вероятности того что будут вынуты стандартные детали из каждого ящика соответственно равны р1=0.7, р2=0.8, p3=0.9. Вероятность совместного появления трех стандартных деталей равна P(A) = р1р2p3 = 0.70.80.9 = 0.504.

П р и м е р. Стреляют три орудия. Вероятности попадания первого орудия равна р1=0.7, второго р2=0.8, третьего p3=0.9. Вычислить вероятность того, что все вынутые три орудия попадут в мишень. Задача по сути не отличается от предыдущей. Вероятность совместного попадания трех орудий равна P(A) = р1  р2  p3 = 0.70.80.9 = 0.504.