5.10.Вероятность произведения двух независимых событий
На практике о независимости событий судят по смыслу задачи. Например, по условию задачи вероятность поражения цели каждым из двух орудий не зависит от того, поразило ли цель другое орудие. Поэтому событие {первое орудие поразило цель} и { второе орудие поразило цель } независимы.
Если же на ответственных соревнованиях цель поражают стрелки, и они стреляют по очереди и видят результаты друг друга, то по смыслу задачи поражение цели одним стрелком может влиять на результативность (вероятность попадания) другого, так как психологи установили связь этих событий, но если стрелки не видят результаты друг друга, то тогда мы имеем задачу, не отличающуюся от задачи с орудиями и исходы стрелков следует считать независимыми друг от друга.
Событие А называют независимым от события В, если появление А не изменяет вероятность появления В. т.е. условная вероятность события В при условии, что А произошло, равна его безусловной вероятности.
РА (В) = Р(В).
В противном случае, если равенство не выполняется, то события называются зависимыми.
Для независимых событий терема умножения вероятностей упрощается и формулируется так.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(АВ) = Р(А) Р(В)
Пример 1. Подбрасывается две монеты. Вероятность появления орла на первой монете Р(О1)= Р(ОО+ОР) = 1/2 и вероятность появления орла на второй монете Р(О2) = Р(РО+ОО) = 1/2 тоже равна одной второй, тогда вероятность их совместного появления можно рассчитать по формуле для независимых событий и она равна Р(О1О2)= Р(О1) Р(О2) = 1/2 1/2=1/4.
Замечание. Этот результат Р(О1О2)=Р(ОО)= 1/4 мы получили по классической формуле ранее. Знак умножения не ставится, поэтому О1О2 = ОО, О1P2 = ОP, P1О2 = PО P1P2 = PP .
Пример 2. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием Р(А) = 0.9 , а вторым Р(В) = 0,7.
Решение. События А и В предполагаются независимыми, поэтому искомая вероятность Р(А В) = Р(А) Р(В) = 0,9 0,7 = 0,63.
Пример
3. Два орудия стреляют по цели. Событие
А ={ первое орудие поразило цель
}, тогда пусть
есть противоположное событие, т.е.
={
первое орудие промахнулось}. Пусть В
= { поражение цели вторым орудием } и
тогда
есть противоположное событие, т.е.
={второе
орудие промахнулось}. В результате
эксперимента, состоящего из двух
выстрелов каждым из орудий, имеем
совокупность четырех элементарных
исходов АВ,
В,
А
,
.
Вероятность поражения цели первым
орудием Р(А) = 0.9 , а
вторым Р(В) = 0,7. Знак
умножения можно не ставить и тогда
АВ=АВ,
В=
В,
А
=
А
,
=
.
Найти вероятности всех возможных четырех
событий.
Решение. Найдём вероятности противоположных событий.
Р( ) = 1 − 0,9 = 0,1;
Р( ) = 1 − 0,7 = 0,3.
По теореме умножения независимых событий находим
Р(АВ) = 0,9 0,7 = 0,63;
Р( В) = 0,1 0,7 = 0,07;
Р(А ) = 0,9 0,3 = 0,27;
Р( ) = 0,1 0,3 = 0.03.
События АВ, В, А , образуют полную группу, попарно несовместны (но не являются равновозможными) т.е. являются пространством состояний эксперимента
= АВ + В + А + .
Проверка вычислений может быть такой. Вероятность от пространства состояний должна быть равна 1. Поскольку события несовместны, то можно применить теорему сложения для несовместных событий Р() = P(АВ) + Р( В) + Р(А ) + Р( )= 0,63 + 0,07 + 0,27 + 0,03 = 1. Это равенство показывает, что задача решена верно.