- •Часть 1
- •Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
- •5.1.Сумма двух несовместных составных событий.
- •5.2.Сумма двух совместных событий
- •5.3.Вероятность суммы двух несовместных событий.
- •5.4.Полная группа событий
- •5.5.Противоположные события.
- •5.7.Пример на вычисление вероятности произведения событий
- •Теорема умножения вероятностей
- •5.6.Произведение двух событий
- •5.8.Условная вероятность
- •5.9.Теорема умножения вероятностей для зависимых событий
- •5.10.Вероятность произведения двух независимых событий
- •5.11.Пример на вычисление условной вероятности зависимых событий
- •5.12.События независимые в совокупности.
- •5.13.Теорема умножения для n независимых событий
- •5.14.Совместное применение теорем сложения и умножения вероятностей
- •5.15.Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности.
- •Следствия теорем сложения и умножения
- •5.16.Вероятность суммы двух совместных событий
- •1) Если события а и в несовместны, то
- •2) Если события а и в совместны и зависимы то
- •3) Если события а и в совместны и независимы то
- •5.17.Формула полной вероятности
- •5.18.Формула Бейеса (формула гипотез)
- •Повторение испытаний.
- •5.19. Формула Бернулли
- •5.20.Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях
- •Дискретные случайные величины и законы их распределения
- •5.21.Случайная величина
- •5.22.Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •5.23.Закон и функция равномерного распределения д.С.В.
- •5.24.Закон и функция биномиального распределения
- •5.25.Асимптотические формулы биномиального распределения
- •1. Формула Лапласа.
- •5.26.Простейший поток событии
- •5.27.Гипергеометрическое распределение
- •5.28. Выводы
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •5.29.Математическое ожидание
- •5.30.Дисперсия и среднеквадратичное отклонение
- •Непрерывные случайные величины
- •5.31.Функция распределения непрерывной с.В.
- •5.32.Закон распределения н.С.В.
- •5.33.Вероятность попадания непрерывной с.В. В заданный интервал
- •5.34.Вероятностный смысл плотности распределения вероятности н.С.В.
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределения для случайных непрерывных велич
- •5.35.Равномерное распределение
- •5.36.Нормальное распределение
5.9.Теорема умножения вероятностей для зависимых событий
Определение 1. Напомним, что событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Определение 2. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Рассмотрим два совместных события А и В некоторого эксперимента у которых известны вероятности Р(А) и РА (В). Возникает вопрос о том, как найти вероятность совместного появления этих двух совместных событий? Ответ следует прямо из определения условной вероятности, но в силу важности этого ответа, его формулируют в виде теоремы.
Теорема.
Вероятность совместного появления двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого вычисленную а предположении , что другое событие уже произошло
Р(АВ) = Р(А) РА (В) = Р (В) РВ(А).
Замечание 1. Для независимых событий верно равенство
Р(АВ) = Р(А)Р(В),
т.е. вероятность произведения равна произведению безусловных вероятностей.
Замечание 2. Теоремы имеет содержательный смысл для совместных событий, однако теорема справедлива и для несовместных событий, но конечно имеет тривиальный смысл. Произведение несовместных событий равно нулю
Р(АВ) = 0,
так как несовместные события одновременно появиться не могут.
П р и м е р 2. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре непосредственных события ОО, ОР, РО, РР.
Пусть
А = { только на одной монете появляется О } = ОР+РО +PP.
В = { на первой О, на второй О или Р } = ОО+ОР.
Найти вероятность Р(С) = Р(А В) .
Решение.
Подсчитаем по формуле Р(С) = Р(А) РА (В) вероятность появления события С = А В . Видно, что события А и В совместны.
Вероятность Р(А) подсчитаем по классической формуле Р(А) = Р(ОР+РО+PP) = 3/4. Вероятность РА (В) тоже подсчитаем по классической формуле. Предположим, что А произошло, тогда появилось одно из трёх событий или ОР или РО или PP; благоприятствует только одно ОР, поэтому РА (В) = 1/3. Следовательно Р(С) = Р(А) РА (В)= (3/4) (1/3) =1/4.
Этот результат, подсчитан нами ранее по классической формуле для вычисления вероятности: всего событий в эксперименте по подбрасыванию двух монет равно четырем, а благоприятствующих ОР всего одно, поэтому
Р(С) = Р(А В) =Р(ОР)= 1/ 4.
П р и м е р. Пусть брошена игральная кость. Пусть событие A = {выпало не больше 5 очков} = {1, 2, 3, 4, 5 }, В = {выпало не меньше 4 очков} = {4, 5, 6 }. Вычислить вероятность Р (А В) с помощью формулы для условной вероятности.
Решение.
Р (А В)= Р (А) РА(В).
По формуле для классической вероятности находим Р (А) = 5/6. Предполагая, что А мы понимаем, что выпала одна из 5 цифр: или 1, или 2, или 3, или 4, или 5, т.е имеем всего 5 случаев, из которых, только два случая 4 и 5 благоприятствуют событию В , следовательно условная вероятность РА(В) = 2/5. Осталось вычислить Р (А В) = Р (А) РА(В)= (5/6) (2/5) = 2/6=1/3.
Конечно, требуемую вероятность мы могли бы вычислить без хлопот по формуле классической вероятности. Так как А В = {выпало 4 или 5} = {4, 5} т.е. благоприятствующих случаев 2, а всего случаев в эксперименте 6, то Р (А В) = 2/6=1/3.