5.8.Условная вероятность

Хотя запись Р(В) принимается как безусловная вероятность, но вообще говоря мы всегда имеем дело с условной вероятностью Р_S(В), потому что события происходят при заданных условиях S эксперимента, но этих условий может быть много, некоторые могут подразумеваться, поэтому индекс S не пишут и говорят, что имеется безусловная вероятность..

Для применения формулы вычисления вероятности произведения двух событий необходимо познакомиться с понятием условной вероятности появления, какого либо события.

Рассмотрим пример. Пусть брошены две монеты. Известно, что произошло составное событие А, где А = OO+OР. Какова вероятность, что при этом условии произошло событие В = ОО? Если бы не было известно, что произошло событие А, то вероятность выпадения ОО оценивается числом 1/4. Однако в задаче содержится дополнительная информация о том, что произошло OO или OP, поэтому при этом дополнительном знании, о том что, условие А произошло, вероятность события В равна 1/2. Такая вероятность называется условной вероятностью события В, при условии, что А произошло и обозначается Р_А (В).

Какова же вероятность Р_А (В). Вероятность события В в предположении, что А произошло Р_А (В) можно вычислить двумя способами,

Первый способ подсчета условной вероятности.

Вероятность события В , в предположении, что А произошло можно вычислить по формуле

Р_А (В) = n (АВ) / n(А),

где n(А) − количество исходов благоприятствующих А;

n(АВ) − количество исходов благоприятствующих АВ.

Поясним это рисунком.

Пусть в каждой из областей A, L, B, M своего цвета находится соответственно точек n₁, l, n₂, m _. Точки обозначают элементарные исходы. Таким образом, все пространство событий Ω содержит N = n₁ + l + n₂ + m точек. Тогда очевидно событие А содержит n₁ + l точек, а событие В состоит из l + n₂ точек. Событие М = Ω – (A+B) содержит m точек. Тогда P(А)=(n₁ + l)/N, P(B)=(n₂ + l)/N, а вероятность их произведения

P(АВ) = P(L) = l/N.

Условная вероятность

Р_А(В) = n(АВ)/n(А)

будет вычисляться по формуле

.

Из этой формулы хорошо виден смысл условной вероятности, за всевозможные исходы принимаются исходы, составляющие событие А, а за благоприятствующие только те исходы события В, которые входят в событие А.

Интересно найти соотношение, которому должны удовлетворять величины n₁, l, n₂, m , чтобы события были независимыми.

События А и В будут независимыми, если выполняется формула

Количество исходов благоприятствующих АВ очевидно равно n(АВ) = 1, т.е когда выпадет только ОО, а количество исходов благоприятствующих А равно, n(А) = 2 т.е. может выпасть OO или ОР. Поэтому Р_А (В) = 1/2.

Второй способ подсчета условной вероятности.

Р_А (В) = Р (АВ) / Р(А),

где Р (АВ) − вероятность совместного появления события АВ; Р(А) − вероятность появления А.

Вероятность Р(АВ) равна очевидно вероятности появления события ОО которая равна 1/4, т.е. Р(АВ) = Р(ОО) = 1/4. Вероятность события А равна конечно 1/2, Р(А)=1/2, поэтому Р_А(В)= (1/4) : (1/2) = 1/2.

Если вероятность появление одного события A не зависит от появления другого события В, то события называются независимыми и формула для произведения вероятностей выглядит так:

P (АВ) = Р(А)  P(В).

Если события А и В принадлежат пространству событий Ω и количество элементарных исходов Ω равно сумме исходов, составляющих объединение событий А и В, то условная вероятность есть и безусловная.

Говорить об условной вероятности можно только тогда, когда события А и В принадлежат пространству событий Ω и количество элементарных исходов Ω больше суммы исходов, составляющих объединение событий А и В (рис.12 ).

Пример. Пусть брошена игральная кость. И стало известно, что выпало не меньше пяти очков. Какова при этом условии вероятность события В, заключающегося в том, что выпала 6 очков?

Если бы не было известно, что произошло событие А, то вероятность выпадения 6 очков оценивается числом 1/6. Однако в задаче содержится дополнительная информация о том, что выпало 5 или 6 очков, поэтому при этом дополнительном условии вероятность события В равна 1/2.

Определение. Условной вероятностью события В при условии, что А произошло Р_А(В) называется вероятность события В найденное в предположении, что А произошло.

Замечание. Было уже отмечено, что мы всегда имеем дело с условной вероятностью. Когда записываем Р(А), то надо полагать, что это условная вероятность появления события А при создании условий S эксперимента и следовало бы писать Р_S(А)

П р и м е р 2. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется четыре непосредственных события ОО, ОР, РО, РР.

Пусть

А = { только на одной монете появляется О или на обоих РР} = ОР+РО +PP.

В = { на первой О, а на второй О или Р } = ОО+ОР.

Какова условная вероятность появления события В, в предположении, что А произошло?

Видно, что события А и В совместны. Если исход эксперимента ОР, то это может рассматриваться как событие С состоящее в одновременном появлении события А и события В при подбрасывании двух монет. Это записывают так С = А  В (или С =А ⋂ В).

Вычислим условную вероятность двумя способами.

1 способ. Воспользуемся формулой Р_А (В) = n (АВ) / n(А) .

Если А произошло, то это означает, что могло быть три возможности или ОР или РО или PP, но для события А  В = ОР благоприятствует только один случай, поэтому имеем

Р_А(В) = 1/3.

2 способ. Воспользуемся формулой Р_А (В) = Р (АВ) / Р(А)

Вероятность Р (АВ) = Р (OP) = 1/4, а вероятность Р(А) = Р(ОР+РО+PP) = 3/4 . Поэтому

Р_А(В) = (1/4 ) : ( 3/4) = 1/3..