5.3.Вероятность суммы двух несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий P(А+В) равна сумме вероятностей этих событий

P(А + В) = P(A) + P(B).

Поясним существо теоремы на примере 1. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет одновременно.

Пусть А = {на одной монете появляется орёл}= ОРР+РОР+РРО,

В = { на одной монете появляется решка } = ООР+ОРО+РОО

Тогда С = OOP + ОРО + ОРР + РОО +РОР + РРО.

Вероятности P(А) = 3/8 и P(В) = 3/8.

Тогда вероятность P(А+В) = P(А) + P(В) = 3/8 +3/8 =6/8=3/4

Мы получили результат с помощью теоремы сложения. Проверим результат P(А+В)=3/4 непосредственно. Подсчитаем количество элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А + В. Количество благоприятствующих исходов равно очевидно m = 6, а общее количество всех возможных исходов n = 8.

Следовательно P(А+В) = 6/8 = 3/4, что совпадает с результатом, полученным с помощью теоремы сложения.

Теорема непосредственно обобщается на сумму нескольких попарно несовместных событий.

Пусть А = сумма n несовместных событий некоторого эксперимента.

Вероятность появления составного события А которое состоит из суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий и вычисляется по формуле

.

Следствие 1: Если события образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Имеется теорема сложения вероятностей для совместных событий.

5.4.Полная группа событий

Напомним определение

Полная группа событий есть совокупность событий эксперимента, когда при проведении эксперимента появляется хотя бы одно из них.

Замечание. В этом определении следует обратить внимание на то, что в результате эксперимента появляется хотя бы одно из событий составляющих полную группу и не требуется, чтобы появилось одно и только одно событие. . Ещё более важные задачи составляют те задачи, когда событиями эксперимента являются несовместные элементарные исходы.

Рассмотрим примеры.

Пример, Если подбрасывается 3 монеты то имеем 8 элементарных исходов.

Разбивая на любые (совместные или несовместные ) подмножества событий мы получим полную группу событий.

Например

Пусть

А = OOO + OOP, B = OPO+OPP+POO, C = POP+PPO+PPP, D = OPP + POO + POP + PPO + PPP.

1) События А, В, С, образуют полную группу несовместных событий эксперимента.

2) События А, В, D образуют полную группу совместных событий эксперимента.

5.5.Противоположные события.

Рассмотрим определение противоположных событий.

Два события А и В называются противоположными событиями, если они образуют полную группу несовместных событий эксперимента, т.е. А+В=  и А ∩ В = .

Событие противоположное А обозначается через . Противоположное событие В = заключается в том, что в результате эксперимента событие А не произойдет.

Например. Рассмотрим событие эксперимента А, которое состоит в том, что в результате проведения эксперимента, подбрасывании двух монет, выпадет не менее одного орла

А ={выпадет не менее одного орла}.

Пространство событий эксперимента  можно представить в виде объединения двух исходов  = А+ РР.

Рис. 4. Схема, отражающая понятие противоположных событий.

События А и РР являются противоположными  = А+ РР (РР= ).

Пример.

Если подбрасывается 3 монеты то имеем 8 элементарных исходов.

Разбивая множество из 8 элементарных исходов на любые два несовместных подмножеств событий мы получим полную группу несовместных событий, которые можно назвать противоположными..

Например

1) А = OOO + OOP + OPO+OPP+POO, В= POP+PPO+PPP .

Событие А объединяет пять элементарных исхода, а событие В объединяет три исхода.

Эти события образуют полную группу А + В =  и очевидно несовместны, поэтому они суть образуют два события которые можно назвать противоположными. Таким образом А и В есть два противоположных события.

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий А и В равна 1.

P(A) + P(B) = 1.

Поясним теорему на рассмотренном примере

Вероятность события Р(А) = 5/8, а Р(А) = 3/8. Сумма их вероятностей равна 5/8 + 3/8 = 1.

Из теоремы следует , что вероятность одного из противоположных событий равна разности 1 и вероятности другого противоположного события.

P(A) = 1 − P(B).

С помощью понятия противоположных событий некоторые задачи легко решаются, тогда как другими способами такие задачи решить было бы труднее.

Пример. В ящике лежат 12 монет, причем 4 из них фальшивые. Берут наугад 5 монет. Какова вероятность, что среди отобранных есть хотя бы одна фальшивая.

Решение. Вычислить вероятность P(А) потребовало бы применения теоремы сложения вероятностей и вычисления трёх вероятностей появления среди отобранных монет либо 1, либо, 2, либо 3, либо 4 фальшивых монет.

С применением понятия противоположных событий эту задачу можно решить проще. События А= {среди отобранных есть хотя бы одна фальшивая} и событие В = {среди отобранных нет фальшивых противоположны}. Вычислим только одну вероятность P(В). Общее количество способов которыми можно извлечь 5 монет из 12 можно подсчитать с помощью формулы для сочетаний

, количество способов извлечь 5 нефальшивые (настоящих) монет из 8 настоящих монет имеется

.

Таким образом P(В) = 56/792 = 0.071.

Тогда вероятность противоположного события равна

Р(А) = 1 − 0.071 = 0.929.

Решение задачи показывает, что хотя в наборе есть всего четыре фальшивые монеты, вероятность, того, что в отобранных 5 монетах будет присутствовать хотя бы одна фальшивая довольно высока.