Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TV i MS_2 часть.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.4 Mб
Скачать

5.30.Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания M(X)

,

где случайная величина равная отклонению случайной величины X от своего математического ожидания. Случайная величина  является центрированной, её математическое ожидание равно нулю M() = 0. Однако математическое ожидание от квадрата центрированной величины будет всегда положительным числом. Геометрически корень квадратный из дисперсии характеризует “рассеивание” случайной величины X вокруг своего математического ожидания.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число равное квадратному корню из дисперсии

.

Пример. Пусть бросается монета. Выпадению О(рла ) припишем случайной величине Х значение 1, а при выпадении Р(ешки) припишем Х значение 2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое уклонение.

Решение.

Математическое ожидание равно М(X) = 1 1/2 + 2 1/2 = 1,5. Заполняем таблицу

Xi

1

2

Pi

1/2

1/2

1/2

1/2

1/4

1/4

Вычисляем дисперсию

D(X)= M(2) = 1/4 1/2 + 1/4 1/2 = 1/4.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X равно

.

Мы получили, в общем, тривиальный результат. Уклонение Х от математического ожидания равно = 1/2, т.е. значения случайной величины X = 1 или Х = 2 отстоят от математического ожидания на длину = 1/2.

П р и м е р 1. Пусть эксперимент состоит из двух испытаний. Каждое испытание состоит в подбрасывании 1 одной и той же монеты. В каждом испытании по подбрасыванию одной монеты О(рел) появляется с вероятностью Р(О) = p = 1/2. В этих двух испытаниях О может:

а) не появиться вовсе, б) может появиться только один раза, в) может появиться два раза.

В этом эксперименте случайная величина X принимает значения Х= {0, 1, 2}. Вероятности появления этих чисел Р2 (k) , где k = 0, 1, 2, мы уже рассчитали ранее по упрощенной формуле Бернулли.

Р2 (0) = ; Р2 (1) = ;

Р2 (2) = . Имеем таблицу для биномиального закона

Хi

0

1

2

pi

1/4

1/2

1/4

-1

0

1

1

0

1

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне- квадратичное уклонение.

Р е ш е н и е.

М(X) = 0 1/4 + 1 1/2 + 2 1/4 = 1

D(X)= M(2) = 11/4 + 0 1/2 + 1 1/4 = 1/2.

Свойство характеризовать рассеивание случайной величины хорошо будет видно на следующем примере.

Пример.

Эксперимент состоит в том, что два стрелка разной квалификации стреляют по 20 раз в мишень. Результаты (очки) от 4 до 10 попадания в мишень приведены в таблице.

Очки

10

9

8

7

6

5

4

1 стрелок

3

7

6

4

2 стрелок

1

2

4

5

3

3

2

Построить законы распределения, найти математические ожидания, среднеквадратичные уклонения.

Решения. Для каждого из стрелков постоим таблицы. В качестве вероятностей возьмем частоту.

1 стрелок

Очки Xi

10

9

8

7

6

5

4

1 стрелок

3

7

6

4

p

3/20

7/20

6/20

4/20

1,55

0,55

-0,45

-1,45

2.40

0.30

0.20

2.10

М(X) = 10 3/20 + 9 7/20 + 8 6/20 + 7 4/20 = 8,45

D(X)= M(2) = 2.4 3/20+0.37/20+0.26/20+2.14/20 =0,945

2 стрелок

Очки Xi

10

9

8

7

6

5

4

2 стрелок

1

2

4

5

3

3

2

p

1/20

2/20

4/20

5/20

3/20

3/20

2/20

3,2

2,2

1,2

0,2

0,8

1,8

2,8

10,24

4,84

1,44

0,04

0,64

3,24

7,87

М(X) = 10 1/20 + 9 2/20 + 8 4/20 + 7 5/20 +6 3/20 + 5 3/20 + 4 2/20 = 6,8

D(X)= M(2) = 10,24 1/20 + 4,84 2/20 + 1,44 4/20 + 0,04 5/20 +0,64 3/20 + 3,24 3/20 + 7,87 2/20 = 2,66

Из сравнения результатов вычислений M и можно сделать вывод, что первый стрелок имеет математическое ожидание ближе к 10, чем у второго стрелка. Среднеквадратичное уклонение меньше у второго стрелка, это означает, что пули первого стрелка лежаться ближе к математическому ожиданию, чем у второго стрелка или как говорят “кучность” стрельбы у первого стрелка лучше. В идеале требуется, чтобы М ожидание было бы равно 10 и среднеквадратичное уклонение  равно нулю. Так мог бы стрелять автоматическое устройство, жестко закрепленное и отлаженное на попадание в центр.

На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.

Второй способ вычисление дисперсии.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера для первого стрелка:

Очки Xi

10

9

8

7

6

5

4

(Xi)2

100

81

64

49

36

25

16

1 стрелок ni

3

7

6

4

pi

3/20

7/20

6/20

4/20

М(X2) = 100 3/20 + 81 7/20 + 64 6/20 + 49 4/20 = 72,35

Тогда дисперсия равна

D(X)= 72,35 (8.45)2 = 0.948

Что совпадает, в пределах точности вычислений, с результатом, подсчитанным первым способом.