5.28. Выводы
Сделаем некоторые выводы по данному параграфу. Были рассмотрены дискретные с.в. На конкретных простых примерах были рассмотрены распределения: равномерное, биномиальное , пуассоновское, гипергеометрическое. Геометрическое мы не стали рассматривать, с ним можно познакомиться по учебнику []. Из этих пяти визуально резко отличаются только три: равномерное, биномиальное и пуассоновское. Гипергеометрическое напоминает колоколообразное биномиальное распределение. Геометрическое похоже на Пуассоновское, быстро убывающее, с ростом k .
Каким бы распределением не обладала д. с. в. Для неё всегда можно построить закон распределения и функцию распределения , которые равноценны с точки зрения задания случайной величины, из заданной одной можно всегда получить другую Но закон распределения более нагляден, чем функция распределения, более выпукло оттеняет более вероятные события от менее вероятных.
Дискретная случайная величина может быть задана своим законом распределения в виде таблицы, в виде графика, с помощью аналитической формулы. Все эти способы равноценны, но обладает каждый своими преимуществами. Особенно нагляден графический способ. По формулам можно считать вручную или на микрокалькуляторе или с помощью таблиц (формулы Лапласа). Однако наиболее современен программный метод с помощью математических пакетов для персонального компьютера. Таких математических пакетов много: MathCAD, Maple, MathLab, Matematika и многие другие, не говоря уже об общедоступном программном офисном продукте EXEL, на котором можно выполнять все вычисления и построения. Особенно простой интерфейс у математического пакета MathCAD, у которого визуально написание программы осуществляется подобно тому как пишется на листе бумаги рукой. Кроме д.св. большое значение имею т и непрерывные с.в. для которые тоже можно задать с помощью закона распределения и функции распределения. Но прежде чем рассмотреть их, рассмотрим ещё некоторые важные числовые (скалярные) характеристики д.с.в. Это математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное уклонение. С их помощью тоже приближенно можно судить законе и функции распределения. Их подчас получить (вычислить) намного легче, чем закон и функцию распределения.
Математическое ожидание и дисперсия есть моменты первого и второго порядка. Можно в принципе находить и моменты более высокого порядка, однако ими редко приходиться пользоваться.
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Закон распределения (или функция распределения) полностью характеризует случайную величину. Однако, когда закон распределения неизвестен, или его знание не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми (скалярными) характеристиками случайной величины. Выгодно пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Эти величины определяют некоторые средние значения, вокруг которых группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
5.29.Математическое ожидание
Рассмотрим пример.
Пример. Пусть бросается монета. Выпадению О(рла ) припишем случайной величине Х значение 0, а при выпадении Р(ешки) припишем Х значение 1. Найдем среднеарифметическое этих величин: M = (1+2)/2 = 0.5. Это значение называют математическим ожиданием случайной величины, которая связана с данным экспериментом (опытом). Математическое ожидание показывает, какое среднее значение будет принимать случайная величина при многократном повторении опыта. Мы помним, что вероятности, с которыми появляется 0 и 1 равны по 1/2, следовательно, при многократном повторении опыта в половине случаев выпадет 0, а в другой половине случаев 1. Это и означает, что среднее значение случайная величина есть 1/2. Мы можем подсчитать математическое ожидание X так
М(Х) = 0 1/2 + 1 1/2 = 1/2.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X принимающей значения хi с вероятностям рi называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности
.
С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Пример. Пусть подбрасывается две монеты. Если выпадет ОО, то припишем этому событию значение 1, если выпадет ОР, то припишем этому событию значение 2; если выпадет РО, то припишем этому событию значение 3; если выпадет РР, то припишем этому событию значение 4. Найти математическое ожидание.
Решение.
Применим формулу
М(X) = 1/4(1+2+3+4) = 10/4 = 5/2.
Для всех примеров параграфа 8 можно вычислить математическое ожидание.