5.26.Простейший поток событии

Формула Пуассона приводит к новому распределению с.в.  пуассоновскому закону распределения. Оно имеет большое практическое значение для моделирования реальных последовательностей событий, при массовом обслуживании. Примерами потоков событий служат поступление вызовов: на АТС (Автоматизированную Телефонную Станцию), на пункты неотложной скорой помощи, затем прибытие и отбытие самолётов, клиентов на предприятиях бытового обслуживания, последовательности отказов оборудования и многие другие события.

Поток событий характеризуется средним числом событий, которое появляется в единицу времени и обозначается через  = n p, где конкретные значения n и p неизвестны, но n  велико, а p  мало и известно их произведение  .

Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока  известна, то вероятность появления k событий за время t определяется формулой Пуассона

.

Если сравнить эту формулу с формулой Пуассона

, где .

для приближения формулы Бернулли, то можно заметить, что интенсивность потока это есть произведение =np . Это означает, что среднее число появления события А в разных сериях испытаний при различных n остается неизменным.

Пример. Пусть за каждую одну минуту выполняется 2 эксперимента по подбрасыванию монеты. Тогда интенсивность появления О(рла) равна очевидно =np = 21/2= 1 разу за одну минуту.

Вычислить вероятность появления скажем трёх О(рлов) за 5 минут.

Решение.

Воспользуемся формулой Пуассона.

=. 0.00561

Таким образом ожидать, что за пять минут появится ровно три О(рла), есть событие маловероятное при интенсивности одного Орла за 1 мин.

Но, если выяснить какова вероятность того, что за пять минут появится не более 3 Орлов, то получим

= =0.265.

Событие В того, что появится более чем 3 Орла, т.е 4, 5, 6, … есть противоположное событие и следовательно вероятность P(B), равна 1-0.265=0.735

Подобным образом решаются задачи массового обслуживания.

Пример.

Среднее число заказов по приготовлению Пиццы за одну минуту равно 3. Какова вероятность того, что за 2 минуты поступит а) 4 заказа б) менее чем 4 заказа в) не менее чем 4 заказа.

Решите самостоятельно.

5.27.Гипергеометрическое распределение

Мы при знакомстве с разделом комбинаторики рассматривали такую задачу

П р и м е р. В ящике лежат N = 12 монет, причем M = 4 из них фальшивые, остальные настоящие. Берут наугад n = 5 монет. Мы находили вероятности того, что среди отобранных 5 монет окажется ровно k = 0, 1, 2, 3, 4 фальшивых монет и получили

следующие вероятности:

P(k = 0) = 56 / 792 = 7/99 .

P(k = 1) = 280 / 792 = 35/99.

P(k = 2) = 336 / 792 = 42/99 =14/33

P(k = 3) = 112 / 792 = 14/99.

P(k = 4) = 8 / 792 = 1/99 .

Обозначим через:

N= 12 − общее число монет;

M = 4 – количество среди них фальшивых;

N − M = 8 – количество настоящих монет;

n = 5 − количество взятых наугад монет.

В любом случае k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …., min (M, n ) –количество среди них фальшивых, (n − k) − количество настоящих монет, среди отобранных.

Здесь мы имеем дело с законом распределения, который называется гипергеометрическим. Подобно закону Бернулли или Пуассона, имеется общая формула для гипергеометрического закона. Все вычисления вероятностей для различных k мы проводили по формуле, в которой для расчета благоприятствующих событий был использован принцип умножения и формулу для сочетаний

.

Это и есть общая формула гипергеометрического распределения. Следующий рисунок поможет запомнить формулу для различных случаев. Рассмотренный случай характерен тем, что n > M. Однако можно сформулировать задачу и для n < M, когда число отобранных монет n меньше, чем число фальшивых монет M среди всей совокупности монет.

В данном примере выборочная совокупность n или просто выборка больше, чем число фальшивых монет M среди всей генеральной совокупности N т.е n>M.

Если переобозначить m=k и обозначить через L= N-M, l=n-k, то формула записывается в более запоминающемся виде

Рисунок надо понимать так, что исходное множество объектов N состоит из двух множеств N = M + L, из него делается выборка n  N, которое состоит из двух множеств n = m + l. Находятся сочетания из больших букв по малым буквам , , и затем находят отношение произведения первых двух сочетаний к третьему.

Построим закон гипергеометрического распределения

Закон распределения гипргеометричекого распределения напоминает биномиальное, потому что имеет такую же колоколообразную форму.

Увеличим N в более чем 10 раз.

Пусть количество элементов (генеральная совокупность, монет) будет N = 150

Количество дефектных монет M = 40

Объем выборки равен n = 20

График распределения показан на рисунке

В этом случае колоколообразность формы закона гипергеометрического распределения ещё более заметна.

Изменим объем выборки до 60.

Тогда N=150, M=40, n =60

График функции распределения изменится

В этом случае, можно догадаться, что закон гипергеометрического распределения можно с высокой точностью описать биномиальным распределением.

Пример. В урне 20 шаров, из них 5 окрашенных. Найти вероятности появления шаров и построить закон распределения.

Пример

В ящике 200 деталей из них 10 дефектных. Делают выборку из 5 деталей. Построить с помощью программы закон распределения вероятностей появления в выборке количества дефектных деталей.

Указание. Задачи по существу дела не отличается от рассмотренной выше с монетами.