5.25.Асимптотические формулы биномиального распределения

С появлением персональных компьютеров, математических пакетов, для моделирования по формуле Бернулли можно вычислять распределения случайных величин при любых n и p и строить графики. Например предыдущие графики были построены в среде MathCAD по следующей программе, в которой можно менять р, n. На следующем рисунке р = 0.2, n=20 .

Если вычисления производятся вручную, то при больших n осуществить вычисления становится трудным, а при n > 40 практически невозможными. Поэтому еще в 1730 г. когда о вычислительных машинах не помышляли всерьез, была предложена формула Муавром для р=1/2, а в 1783 г. Лаплас обобщил её на случай произвольных p.

Представляет интерес оценка погрешности формулы Лапласа в двух случаях:

 при увеличении n погрешность формулы Лапласа уменьшается.

 с уменьшением p, при приближении её к нулю погрешность формулы Лапласа увеличивается.

Поэтому возникает вопрос при каких значения n и p можно пользоваться приближённой формулой Лапласа с точностью до 1 % ?

1. Формула Лапласа.

Вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз приближенно равна

где , .

Построим графики закона распределения по формуле Бернулли и по формуле Лапласа.

На рисунке представлены две программы вычисляющих значения вероятности по формуле Бернулли и по формуле Лапласа для n=10 и p=0.2 приведен график абсолютной погрешности формулы Лапласа , по сравнению с формулой Бернулли.

Из рисунка видно, что проверка формул с помощью суммы всех вероятностей по формуле Бернулли не отличается от единицы, а по формуле Лапласа отличается от единицы на величину 0.01212. Это свидетельствует, что имеется погрешность при вычислении по формуле Лапласа.

Законы распределения рассчитанные по формуле Бернулли (сплошная) и Лапласа (пунктир).

Погрешность формулы Лапласа. Из графика зависимости погрешности видно, что наибольшая погрешность допускается при вычислении k = 1 ( ) и k = 3 . В других точках она по абсолютной величине значительно меньше. Максимальная погрешность около 4%. Поэтому увеличим n. Построим графики законов распределения и графики погрешности формулы Лапласа для n = 15, p = 0.2. Следует ожидать уменьшения абсолютной погрешности, так как n увеличилось.

Из рисунка видно, что проверка суммы всех вероятностей по формуле Лапласа отличается от единицы уже меньше чем на 0.01076.

Законы биномиального распределения имеют характерную для биномиальной формулы Бернулли колоколообразную форму.

Из графика видно, что наибольшая погрешность допускается при вычислении k = 2 и k = 4 и эта погрешность в вычислениях по формуле Лапласа при n =15 уменьшилась приблизительно в два раза и стала равной . Эта погрешность больше 2%

Ещё увеличим n и сделаем его равным n=30. Погрешность должна ещё уменьшиться.

“Колокол” биномиального распределения стал более узким и стал занимает только половину всего отрезка.

,

Из графика видно, что наибольшая погрешность допускается при вычислении k = 4 и k = 8 , но погрешность в вычисления по формуле Лапласа вместо формулы Бернулли уменьшилась до значения приблизительно . Это уже малая погрешность в 1% можно считать, что вычисления по формуле Лапласа проводятся практически точно во всем диапазоне изменения k. Однако с уменьшением p точность формулы Лапласа ухудшается.

Приведем график погрешности при n=30 и p=0.05, из которого видно, что погрешность в вычисления по формуле Лапласа вместо формулы Бернулли увеличилась до значения приблизительно при k = 0 и k = 3.

Погрешность формулы Лапласа увеличилась приблизительно до 5%. Отсюда из проделанных расчётаов можно сделать вывод, что формула Лапласа можно использовать при n > 30 и p> 0.2. если требуется погрешность иене 1% во всем диапазоне изменения 0≤k≤n.

Итак, формула Лапласа при больших n, но малых p дает заметную погрешность, по этой причине Пуассон в 1795 г. предложил довольно точную асимптотическую формулу для вычислений именно в этом случае когда n велико и p мало.

2) Формула Пуассона.

Вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз приближенно равна (при большом n и малом p)

где

Построим графики погрешности по формуле Бернулли , по формуле Лапласа и по формуле Пуассона при n = 30 и p = 0.05.

Из рисунка видно, что формулы немного дают разные результаты при малых k<7. Построим графики именно в этом диапазоне 0 ≤k≤ 10.

Формулы Бернулли и Пуассона (красная и зелёная линии) практически совпадают, а по Лапласу (голубая линия) даёт заметную погрешность, что хорошо видно из следующего рисунка для абсолютных погрешностей.

Из рисунка видно, что погрешность формулы Пуассона для случая больших n=30 и малых p=0.05 лучше, чем формула Лапласа раз в 5.

Если ещё увеличит n и уменьшить p ,то погрешность формула Пуассона ещё уменьшится, а Лапласа увеличится. Сделаем росчёт для n=150 и малых p=0.01. Приведем данные только для k <11, потому что для k>11 погрешность практически отсутствует и для формулы Лапласа и для формулы Пуассона.

Из графика видно, что погрешность по формуле Лапласа остается около 0.05 при k=1, тога как по формуле Пуассона эта погрешность меньше чем 0.005 т.е в 10 раз меньше и приблизительно составляет 0.5%.