5.20.Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях

Если вероятность того, что событие А наступит ровно k в опытах Бернулли не меньше вероятности всех других исходов, то число k называют наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях и обозначают k = k_max.

Пример. Стрелок новичок делает 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель равна p = 0.4. Найти наивероятнейшее число появления события А = {попадание в цель} при 5 выстрелах.

Решение.

В этом примере ранее мы нашли вероятности количества всех возможных попаданий при 5 выстрелах: P(0) = 0.078, P(1) = 0.259, P(2)=0.346, P(3) =0.23, P(4)=0.077, P(5)=0.01. Мы видим, что вероятность при k = 2 больше, чем при всех остальных значениях, следовательно, всего скорее следует ожидать, что новичок при многократных экспериментах состоящих из 5 выстрелов будет попадать всего два раза k_max = 2 .

Отсюда следует, что в 100 экспериментах из пяти выстрелов, стрелок новичок из пяти выстрелах ни разу не попадет приблизительно в 8 экспериментах, приблизительно в 26 попадёт 1 раз, в 35 попадет 2 раза, в 23 попадет 3 раза, в 8 попадет 4 раза и только в одном попадет все пять раз. Таким образом число попаданий 2 встречается более часто 35 раз.

Интересно, каково наивероятнейшее число попаданий у спортсмена разрядника. Оказывается совсем не обязательно решать задачу при всех k, как это было сделано в предыдущем примере. Есть простое правило для определения числа k_max.

Правило

Наивероятнейшее число k_max определяется из двойного неравенства

np - q  k_max  np + q

Вычислим по этой формуле k_max для стрелка новичка. n= 5, p=0.4, q = 1 − 0.4 = 0.6.

5  0.4 – 0.6  k_max  5  0.4 + 0.6

1.4  k_max  2.6

Видно, что k_max = 2.

Пример. Эксперимент состоит в том, что стрелок разрядник делает выстрелы по мишени. Вероятность попадания в цель равна p=0.8. Найти наивероятнейшее число появления события А = { попадание в цель } при 5 выстрелах.

Решение

Вычислим по этой формуле k_max для стрелка разрядника. n= 5, p=0.8, q = 1 − 0.8 = 0.2.

5  0.8 – 0.2  k_max  5  0.8 + 0.2

3.8  k_max  4.2.

В этом примере k_max = 4. Таким образом, спортсмен стрелок чаще всего будет попадать 4 раза при пяти выстрелах.

Если же мы хотим подсчитать какова вероятность всех возможных чисел попаданий k = 0, 1, 2, 3. 4, 5, то должны воспользоваться формулой Бернулии. В этих примерах мы имели дело с событиями, состоящими в появлении того или иного числа k. Такие события можно рассматривать как случайные величины.

2. Дискретные случайные величины и законы их распределения

5.21.Случайная величина

Определение. Случайной величиной  называется величина, которая в результате эксперимента принимает случайные наперед известные числовые значения.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие это понятие.

Пример 1. Пусть подбрасывается монета. Если выпадет О(рел), то припишем этому событию значение 0, если выпадет Р(ешка), то припишем этому событию значение 1. Можно сказать, что в езультате эксперимента появляется случайная величина , имеющая всего два значения 0 или 1, всего два значения.

Пример 2. Пусть подбрасывается две монеты. Если выпадет ОО, то припишем этому событию значение 0, если выпадет ОР, то припишем этому событию значение 1; если выпадет РО, то припишем этому событию значение 2; если выпадет РР, то припишем этому событию значение 3. Можно сказать, что в результате эксперимента появляется случайная величина  принимающая значения  = 0, 1, 2 или 3, всего четыре значения.

Пример 3. Пусть подбрасывается две монеты. Если не выпадет орел (РР), то припишем этому событию значение 0, если выпадет один орёл (ОР, или РО), то припишем этому событию значение 1; если выпадет два орла (OO), то припишем этому событию значение 2; если выпадет РР, то припишем этому событию значение 3. Можно сказать, что в результате эксперимента появляется случайная величина  , принимающая значения k = 0, 1 или 2, всего три значения .

Пример 4. Пусть стрелок производит n выстрелов по далёкой мишени. В результате этого эксперимента могут появиться разные исходы, заключающихся в том, что стрелок попадает в мишень ровно k раз, т.е 0    n . Величина  принимает значения: k=0, 1, 2, 3, … , n − 1, n . Всего количество исходов равно n + 1 .

Пример 5. Пусть стрелок производит один выстрел по более близкой мишени, и результат фиксируем как выбивание определённого количества очков.

В результате этого эксперимента д.с.в.  примет некоторое значение 0  k  5 . Всего значений д.с.в. равно 6.

Пример 6. Пусть школьнику, с целью тестирования его знаний по математике, дают задание, состоящее из 5 математических задач. В результате проведённого эксперимента школьник может либо не решить ни одной задачи, решить одну, две, три , четыре, пять задач. Поэтому случайная величина  принимает одно из 6 возможных значений k=0, 1, 2, 3, 4, 5.

Пример 7. Количество родившихся мальчиков на 1000 новорожденных есть случайная величина, которая может принимать значения 0  k  1000.

Во всех семи примерах в результате эксперимента дискретная случайная величина  принимает одно из возможных числовых значений из заданного конечного множества значений k=0, 1, 2, 3, … , n − 1, n. Эти значения случайная дискретная величина может принимать с одинаковыми вероятностями (примеры 1, 2), но может принимать и не с одинаковыми вероятностями (примеры 3 7).

Определение. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, которая в результате эксперимента принимает отдельные изолированные возможные числовые значения с определенными вероятностями.

Будем рассматривать такие д.с.в., у которых число возможных значений конечно (т.е. n <  ), но существуют задачи в которых число возможных значений бесконечно (n =  ).

Примеры 8 и 9 дают представление о непрерывной случайной величине.

Пример 8. Расстояние на которое прыгнет спортсмен есть непрерывная случайная величина , значения которой заключены в некотором промежутке l = (а, b).

Пример 9. Производится стрельба по мишени, но в отличие от примера 4, результат есть расстояние от центра мишени О до центра отверстия оставленной пулей в мишени. Это расстояние есть непрерывная с.в.

Случайные величины (дискретные, непрерывные) принято обозначать, как и случайные события, заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, … или маленькими x, y, z, … или малыми буквами греческого алфавита , , , , , , ….. . Мы во всех примерах пользовались буквой , но часто используют букву X или μ.

Часто саму случайную величину обозначают через заглавную букву например X, а её конкретные значения через малые буквы x_i для д.с.в. и x для н.с.в. В последних двух примерах мы встречаем непрерывную случайную величину.

Определение. Непрерывной случайной величиной  называют такую случайную величину, которая в результате эксперимента принимает возможные числовые значения из некоторого промежутка (а, b) вещественных чисел.

В данном определении не сказано, что значения н.с.в.  принимает свои значения с определенной вероятностью. Это вызвано тем, что вероятность принять любое конкретное вещественное значение из интервала (а,b) у случайной величины равна, очевидно, равна нулю.

Для характеристики (задания) случайных величин служат законы распределения их вероятностей и функции распределения.

Для д.с.в. и законы распределения являются дискретными функциями, у н.с.в. законы распределения есть непрерывные или непрерывнодифференцируемые функции.

В следующих ближайших параграфах рассмотрим следующие четыре понятия.

I.Закон распределения вероятностей д.с.в.

II. Функция распределения д.с.в.

III.Функция распределения н.с.в.

IV.Закон (плотность) распределения вероятностей н.с.в. .

	д.с.в.	н.с.в.
Закон распределения	I.	IV.
Функция распределения	II. ( III.)

Замечание 1. Следует обратить внимание, что определение функции распределения для д.с.в. и н.с.в. одинаково , а закона распределения разно. Поэтому наиболее общим понятием является функция распределения, но для практических целей (решения практических задач) часто удобнее пользоваться законами распределения.