5.18.Формула Бейеса (формула гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных событий, которые здесь назовем гипотезами с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности . Требуется определить условные вероятности гипотез при появлении события события А, т.е. требуется вычислить .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события. Суть теоремы выражается формулой Бейеса.

Замечание.

Обозначение равносильно обозначению

Пример.

Пусть подбрасываются две монеты. Пусть события (гипотезы) Н₁= ОО + ОР, Н₂ = РО + РР. Произвели эксперимент и произошло событие А=ОО. Вычислить условную вероятность события

Р_А (Н₂)=Р(Н₂/А) по формуле Бейеса.

Решение.

Находим

Р(Н₁) = 1/2 , Р(Н₂) = 1/2, Р_Н1(А)=1/2, Р_Н2(А) = 0

и вычисляем

Видно, после испытания вероятность гипотез существенно изменилась, вероятность первой гипотезы увеличилась с 1/2 до 1, а второй уменьшилась с 1/2 до 0. Получили очевидный ответ. Действительно, если выпало ОО, то это могло произойти только тогда, когда произошло событие Н₁, так как событие ОО содержится в Н₁. С доругой стороны если произошло событие ОО, то событие Н₂ не могло произойти, т.к. ОО не содержится в нем.

Пример 2. Имеется два ящика деталей. Вероятность того что взятая наугад из первого ящика деталь окажется стандартной равна 0.8, а из второго − 0.9. Проводят эксперимент. Берут наугад любой из ящиков и наугад вытаскивают из него деталь. Деталь оказалась стандартной. а) Вычислить вероятность того, что стандартная деталь вынута из первого ящика. б) Вычалить вероятность того, что стандартная деталь вынута из второго ящика

Решение. Эта задача по существу дела не отличается от предыдущей. Пусть А = {Вынутая деталь стандартна}. Н₁ = {взят первый ящик}, Н₂ = {взят второй ящик}.

Вычисляем

Р(Н₁) = 1/2 , Р(Н₂) = 1/2, Р_Н1(А) = 0.8, Р_Н2(А) = 0.9.

а)

б)

Как видно, и в этом примере, после испытания вероятность гипотез изменилась, вероятность первой гипотезы немного уменьшилась, а второй немного увеличилась. Таким образом формула Байеса позволила переоценить условные вероятности гипотез, годная деталь вероятнее вынута из второго ящика, чем из первого. Качественно это естественно, так как вероятность вынуть годную деталь из второго больше чем вероятность вынуть годную деталь из первого ящика и теорема Байеса позволяет количественно

2. Повторение испытаний.

5.19. Формула Бернулли

Рассмотрим пример.

П р и м е р 1. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании 2 монет одновременно. В результате проведения такого эксперимента имеется уже четыре непосредственных результата ОО, ОР, РО, РР.

Требуется определить вероятности событий а) орёл не появился б) орел появился один раз в) орел появился два раза.

Мы уже вычисляли эти вероятности с помощью определения классической вероятности.

а) Р(РР) = 1/4 , б) Р(ОР+РО) = 1/2 , в) Р(OO) = 1/4.

Однако на этот эксперимент можно посмотреть по другому.

П р и м е р 2. Пусть сложный эксперимент состоит из двух испытаний. Каждое испытание состоит в подбрасывании 1 одной и той же монеты. В каждом испытании по подбрасыванию одной монеты О(рел) появляется с вероятностью Р(О) = p = 1/2. В этих двух испытаниях О может:

а) не появиться вовсе,

б) может появиться только один раза,

в) может появиться два раза.

В этом примере мы имеем дело со сложным составным экспериментом, который состоит из более простых экспериментов, названных испытаниями. Требуется вычислить соответствующие три вероятности Р₂ (k) , где k = 0, 1, 2, того что при двух испытаниях событие О(рел) наступит k раз .

Их можно вычислить по формуле

Р₂ (k) =

Применим формулу.

Р₂ (0) = ;

Р₂ (1) = ;

Р₂ (2) = .

Теперь рассмотрим более общий случай.

Пусть производится сложный эксперимент, состоящий из ряда испытаний. В результате каждого испытания может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний. Такие испытания называются независимыми относительно события А. Вместо слова испытание можно было употребить опыт, эксперимент, наблюдение и т.п.

Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А) = р. Тогда вероятность противоположного события в каждом испытании равно Определим вероятность Р_,п (k) того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно k раз.

Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик). Искомая вероятность вычислячется по формуле

где

Если вероятность p = 1/2 , то и q = 1/2 и формула упрощается (упрощенная формула Бернулли).

Формула Бернулли важна тем, что справедлива для любого количества независимых испытаний, т.е. того самого случая, в котором наиболее четко проявляются законы теории вероятностей.

П р и м е р 3. Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты три раза. Вычислить вероятности того, что Орел выпадет а) 0 раз, б) 1 раз, в) 2 раза, г) 3 раза.

Решение.

Вероятность рассчитываем по упрощенной формуле Бернулли

а) , б) , в) , г)

Замечание. Эти результаты мы получали с применением формулы классической вероятности.

П р и м е р.

По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель а) не попали б) попали 1 раза, в) попали 2 раза г) попали 3 раза д) попали 4 раза е) попали 5 раз.

Указание.

Для решения задачи достаточно воспользоваться формулой Бернулли.

Ответ:

а) 243/3125 = 0.078 , б) 162/625 = 0.259

в) 216/3125=0.346 г) 144/625=0.23

д) 48/625=0.077 е) 32/3125=0.01

Вычисления были проведены с помощью математического

MathCAD 2000, которую бесплатно предлагает производитель.

Программа вычисляет все возможности k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 и осуществляет проверку. Сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

Пример.

Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности трех попаданий, четырех попаданий и пяти попаданий.

Вероятность пяти попаданий из пяти выстрелов:

.

Вероятность четырех попаданий из пяти выстрелов:

.

Вероятность трех попаданий из пяти:

.

Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:

P₅(k3) = 0.0102+0.0768+0.2304= 0.317

Вообще правило вычислений всех случаев такое.

Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли событие наступит: а) менее m раз б) не более m раз в) более m раз г) не менее m раз находят по формулам соответственно:

а)

б)

в)

г)

Пример 1. Монету бросают пять раз. Найти вероятность, что О(рёл) выпадет а) менее 2 раз б) не более 2 раз в) более 2 раз г) не менее 2 раз

Пример 2. Игральный кубик бросают 5 раз. Найти вероятность, что 6 выпадет а) менее 2 раз б) не более 2 раз в) более 2 раз г) не менее 2 раз

Пример 3. Стрелок разрядник делает 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель равна p=0.8. Найти вероятность попадания а) 2 раза б) не менее 2 раз.

Ответ: а) Р₅(2) = 0.0064, б)Р₅(k2) =0.99328.

Пример 4. Стрелок новичок делает 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель равна p = 0.4. Найти вероятность попадания а) 2 раза; б) не менее 2 раз; в) Сравнить результаты с предыдущим примером.

Ответ: а) Р₅(2) = 0.2592; б) Р₅(k2) = 0.6630; в) интересно сравнить результаты. Ровно два раза у новичка попасть гораздо выше, чем у разрядника. Это понятно, разрядник, скорее всего будет попадать в цель и попасть из пяти выстрелов всего два раза, это есть маловероятное событие, тогда как у новичка попасть всего два раза вероятность больше, остальные три раза может и промахнуться. А вот попасть не менее двух раз у разрядника вероятность значительно больше, чем у новичка, по той же причине.

Из сравнения двух результатов стрельбы двух стрелков возникает вопрос. Каково наивероятнейшее количество попаданий у спортсмена разрядника и у новичка?