2.5 Перевірка значущості та довірчі інтервали

Перевірити значимість рівняння регресії – означає встановити, чи відповідає математична модель, що виражає залежність між змінними, експериментальним даним і чи достатньо включених в рівняння пояснюючих змінних (однієї чи декількох) для опису залежної змінної.

Оцінка значимості рівняння регресії в цілому проводиться на основі F-критерію Фішера, якому передує дисперсійний аналіз. Згідно з основною ідеєю дисперсійного аналізу, загальна сума квадратів відхилень змінної у від середнього значення розкладається на дві частини – «пояснену» і «непояснену»:

(2.18)

де – загальна сума квадратів відхилень;

– сума квадратів відхилень, пояснена регресією (факторна сума квадратів відхилень);

– залишкова сума квадратів відхилень, що характеризує вплив неврахованих в моделі факторів.

Схема дисперсійного аналізу має вигляд, що представлений в таблиці 2.1 (n – число спостережень, m – число параметрів при змінній х).

Таблиця 2.1 – Дисперсійний аналіз

Компоненти дисперсії	Сума квадратів	Число ступенів свободи	Дисперсія на одну ступінь свободи
Загальна		n-1
Факторна		m
Залишкова		n-m-1

Визначення дисперсії на одну ступінь свободи приводить дисперсії до співставного вигляду. Співставлюючи факторну і залишкову дисперсії в розрахунку на одну ступінь свободи, отримаєм величину F-критерію Фішера.

(2.19)

Фактичне значення F-критерію Фішера порівнюється з табличним (чи критичним) значенням F_табл(α; k₁; k₂) при рівні значимості α і ступенях свободи k₁=m i k₂ = n-m-1. При цьому, якщо

, (2.20)

то говорять, що знайдене рівняння регресії статистично значиме з надійністю не менше 1- . В протилежному випадку воно незначиме.

Для парної лінійної регресії m = 1, тому

(2.21)

Між коефіцієнтом детермінації R² та F-відношення Фішера є зв’язок:

(2.22)

Отже, можливе тестування адекватності моделі, використовуючи тільки коефіцієнт детермінації.

Під терміном «ступінь вільності» (ступінь свободи) в економетрії розуміють число, яке показує, скільки незалежних елементів інформації із змінних Y_i (і=1…n) потрібно для розрахунку розглядаємої суми квадратів.

В парній лінійній регресії оцінюється значимість не тільки рівняння в цілому, але і окремих його параметрів. З цією ціллю по кожному із параметрів визначається його стандартна похибка: і .

Стандартна похибка коефіцієнта регресії визначається за формулою:

(2.23)

де – залишкова дисперсія на одну ступінь свободи.

Величина стандартної похибки разом з t-розподілом Ст’юдента при n-2 ступенях свободи застосовуються для перевірки істотності коефіцієнта регресії і для розрахунку його довірчого інтервалу.

Для перевірки значимості коефіцієнта регресії його величина порівнюється з його стандартною похибкою. Визначається фактичне значення t-критерія Ст’юдента , котре потім порівнюється з табличним значенням при рівні значимості і числі ступенів свободи k = n – 2. Якщо

то говорять, що коефіцієнт регресії є статистично значимим з надійністю не менше 1 – α. В іншому випадку він незначимий.

Якщо а₁ > 0 (рис. 2.4), то при збільшенні фактору х значення результативної ознаки у збільшується. При а₁ < 0 збільшення х приводить до зменшення у. Якщо а₁ = 0, то фактори не залежать один від одного.

Довірчий інтервал для коефіцієнта регресії:

(2.24)

Границі довірчого інтервалу для коефіцієнта регресії не мають містити суперечливих результатів, наприклад, –1,5 ≤ а₁ ≤ 0,8. Такого роду запис вказує, що істине значення коефіцієнта регресії одночасно містить позитивні і негативні величини і навіть нуль, чого не може бути.

Рисунок 2.4 – Нахил лінії регресії в залежності від значення параметру а₁

Стандартна похибка параметру a визначається за формулою:

. (2.25)

Процедура оцінювання значимості даного параметру не відрізняється від розглянутої вище для коефіцієнта регресії. Обчислюється t-критерії: , його величина порівнюється з табличним значенням при n–2 ступенях свободи.

Значимість лінійного коефіцієнта кореляції перевіряється на основі величини помилки коефіцієнта кореляції m_R:

(2.26)

Фактичне значення t-критерію Ст’юдента визначається як і порівнюється з табличним значенням. Існує зв’язок між t-критерієм Ст’юдента і F-критерієм Фішера:

. (2.27)