4.4 Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена) оцінок параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастичними залишками. Прогноз за моделлю.

Економетрична модель, в якої спостерігається явище гетероскедастичності, є узагальненою моделлю і оцінювання її параметрів слід використовувати не метод найменших квадратів (1МНК), а узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена, або скорочено УМНК).

Ідея УМНК полягає у знаходженні оцінок матриці параметрів А моделі з використанням додатково визначеної діагональної матриці S, за допомогою якої коригується вхідна інформація.

Матриця S має вигляд:

, (5.15)

де – параметри, які обчислюються з використанням гіпотез:

а) дисперсія залишків пропорційна до змін пояснювальної змінної х_і, тоді ;

б) дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрату пояснюючої змінної ;

в) дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрату залишків за модулем , тоді .

Оскільки матриця , то матриця Р має вигляд:

;

За наявністю гетероскедастичності узагальнена модель має вигляд

, (5.16)

де ;

;

Використання для узагальненої моделі (5.16) 1МНК приводить до такого оператора оцінювання параметрів УМНК:

. (5.17)

Коефіцієнт детермінації не може бути задовільною мірою якості моделі в разі застосування УМНК (на відміну від класичної моделі). У загальному випадку значення коефіцієнта детермінації навіть не повинно перебувати в інтервалі [0;1], а додавання чи вилучення незалежної змінної (фактора) не обов’язково зумовлює його збільшення або зменшення.

Найкращий лінійний незміщений прогноз за моделлю УМНК визначається за співвідношенням

, (5.18)

де – відома симетрична додатково визначена матриця;

W – матриця поточних і прогнозних значень залишків;

Х₀ – заданий вектор точкового періоду.

Величина визначає залишки прогнозного періоду і може розглядатися як помилка пронозу на підставі моделі .

Приклад 5.1. Використовуючи дані таблиці 5.1, де спостерігається гетероскедастичність, дати оцінки параметрів моделі згідно з методом Ейткена.

Таблиця 5.1

Номер спостереження	Витрати на харчування, г.о.	Загальні витрати, г.о.
1	2,30	15
2	2,20	15
3	2,08	16

Продовження таблиці 5.1

Номер спостереження	Витрати на харчування, г.о.	Загальні витрати, г.о.
4	2,20	17
5	2,10	17
6	2,32	18
7	2,45	19
8	2,50	20
9	2,20	20
10	2,50	22
11	3,10	64
12	2,50	687
13	2,82	72
14	3,04	80
15	2,70	85
16	3,94	90
17	3,10	95
18	3,99	100

Розв’язання

1. Ідентифікація змінних:

Y – витрати на харчування, залежна змінна;

Х – загальні витрати, незалежна змінна.

Тоді загальний вигляд економетричної моделі такий:

;

.

2. Згідно з першою гіпотезою припустимо, що в діагональній матриці S елементи пропорційні до зміни пояснювальної змінної х_і , тобто (х_і – загальні витрати за і-м спостереженням). Тоді обернена матриця до S записується у вигляді (вище на нижче головної діагоналі нулі):

.

3. Змінимо матрицю, транспоновану до матриці пояснювальної змінної:

4. Добуток матриць:

.

5. Розрахунок оберненої матриці:

.

6. Розрахунок матриці :

.

7. Оцінка параметрів моделі за методом Ейткена:

.

8. Економетрична модель витрат на харчування для теоретичних даних запишеться у вигляді:

.

9. Економічний аналіз характеристик моделі приводить до такого:

а) коефіцієнт детермінації R² = 0,722, а це означає, що 72,2% витрат на харчування залежить від загальних витрат;

б) коефіцієнт кореляції , що свідчить про досить тісний зв’язок між витратами на харчування та загальними витратами;

в) залишкова дисперсія показує, що розрахункові значення витрат на харчування дуже близькі до фактичних;

г) параметр моделі а₁ свідчить про те, що збільшення загальних витрат на одиницю сприятиме зростанню витрат на харчування на 0,0141 одиниць.

Основні висновки щодо наявності гетероскедастичності в регресійній моделі:

1. Якщо виявлено гетероскедастичність, а дисперсії невідомі, необхідно трансформувати початкову модель з метою усунення гетероскедастичності.

2. Якщо відомі (що, взагалі, рідкість), то невідомі параметри регресійної моделі розраховуються за МНК.

3. Якщо невідомі, але відомий вигляд залежності між та однією із незалежних змінних х_i, то параметри регресійної моделі розраховуються за УМНК.

4. Важливим є припущення про нормальний закон розподілу випадкової змінної u. Якщо це припущення порушується (або, як часто буває на практиці, ігнорується), то оцінки параметрів залишаються найкращими, однак ми не можемо визначити їх статистичну значущість (надійність) за допомогою класичних тестів значущості (t, F тощо), оскільки ці тести базуються на нормальному законі розподілу.

Самостійна робота № 4 – Методи пом’якшення проблеми гетероскедастичності в економетричних моделях, коли дисперсії відхилень невідомі

Застосування методу зважених найменших квадратів у випадку, коли дисперсії відхилень невідомі [1, c.220-222].