10.6 Авторегресійне перетворення

Нехай у – досліджувана величина, і її зміну можна описати за допомогою моделі:

(10.18)

де m – середнє значення Y;

u_t – некорельовані випадкові відхилення з нульовим математичним очікуванням і постійної дисперсією (такі відхилення при розгляді тимчасових рядів іноді називають білим шумом).

Перетворення (10.18) в цьому випадку називають авторегресійним перетворенням першого порядку AR(1). При цьому значення y_t змінної Y в момент часу t пропорційно її ж значенням y_t-1 в момент часу (t-1) плюс деяке випадкове відхилення.

За аналогією:

(10.19)

називається авторегресійним перетворенням другого порядку AR(2);

(10.20)

називається авторегресійним перетворенням другого порядку Р AR(P).

У всіх цих перетвореннях поточне значення yt змінної y виражається тільки через її попередні значення і випадкову складову (білий шум) ut.

10.7 Перетворення методом ковзного середнього

Нехай модель задається формулою:

(10.20)

де  = const;

u_t і u_t-1 - білий шум у поточний і попередній моменти часу. У цьому випадку значення змінної Y в момент часу t дорівнює сумі константи і ковзної середньої між поточним і попереднім значеннями випадкового відхилення (білого шуму).

Співвідношення (10.20) називають перетворенням методом ковзних середніх першого порядку МА (1).

Співвідношення:

(10.21)

називають перетворенням методом ковзних середніх порядку q MA(q).

10.8 Перетворення arma і arima

Поєднання перетворень AR і МА називається авторегресійним перетворенням методом ковзної середньої ARMA. Наприклад, для змінної Y перетворення ARMA (1,1) буде мати вигляд

(10.22)

У загальному випадку перетворення ARMA (p,q) включає в себе р авторегресійних членів і q ковзних середніх.

Перетворення ARMA в поєднанні з переходом від об'ємних величин до прирістних називається перетворенням ARIMA. У деяких випадках такий перехід дозволяє одержати більш точну і явну модель залежності. Тут збільшенням (кінцевою різницею) першого порядку змінної Y називається різниця y_t – y_t-1. Збільшенням порядку d змінної Y називають різницю

. (10.23)

В загальному вигляді перетворення ARIMA(p,d,q) виражається формулою:

(10.24)

де – невідомі параметри.

Величини представляють собою кінцеві різниці порядку d змінних Y.

u_t-i, і = 0, 1, ..., q, – незалежні один від одного нормально розподілені випадкові величини з нульовим математичним очікуванням і постійною дисперсією.

Відзначимо, що перетворення AR, МА та ARIMA доцільно використовувати тоді, коли досить зрозумілі набір пояснюють змінних і загальний вигляд рівняння регресії, але в той же час зберігається автокореляція залишків.

Самостійна робота № 10 – Авторегресійні моделі.

Модель адаптивних сподівань [1, c.315-319]. Модель часткового корегуваня [1, c.319-321]. Поліноміально розподілені лаги Альмона [1, c.321-323]. Оцінка параметрів авторегресійних моделей [1, c.323-324].