9.2 Перевірка гіпотези про існування тренда

Кореляційну залежність між послідовними рівнями часового ряду називають автокореляцією рівнів ряду.

Кількісно її можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями часового ряду і рівнями цього ряду, зсунутими на декілька кроків за часом.

Формула розрахунку коефіцієнта автокореляції:

(9.11)

де .

Цю величину називають коефіцієнтом автокореляції рівнів ряду першого порядку, оскільки він вимірює залежність між сусідніми рівнями ряду t і t-1.

Аналогічно можна знайти коефіцієнт автокореляції другого і більш високих порядків. Так, коефіцієнт автокореляції другого порядку характеризує тісноту зв'язку між рівнями y_t і y_t-2 і визначається за формулою:

(9.12)

де

Число періодів, за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, називають лагом.

Оскільки зі збільшенням лагу число пар значень, за якими розраховується коефіцієнт автокореляції, зменшується, то для статистичної достовірності коефіцієнтів автокореляції використовують правило про те, що максимальний лаг повинен бути не більшим за .

Властивості коефіцієнта автокореляції.

1. Він будується за аналогією з лінійним коефіцієнтом кореляції і таким чином характеризує тісноту тільки лінійного зв'язку поточного та попереднього рівнів ряду. Тому за коефіцієнтом автокореляції можна судити про наявність лінійної (чи близькою до лінійної) тенденції. Для деяких часових рядів, що мають сильну нелінійну тенденцію (наприклад, параболу другого порядку чи експоненту), коефіцієнт автокореляції рівнів початкового ряду може наближатися до нуля.

2. За знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про зростаючу або спадну тенденцію в рівнях ряду. Більшість тимчасових рядів економічних даних містять позитивну автокореляції рівнів, однак при цьому можуть мати спадну тенденцію.

Послідовність коефіцієнтів автокореляції рівнів першого, другого і т. д. порядків називають автокореляційною функцією часового ряду.

Графік залежності значень від величини лагу (порядку коефіцієнта автокореляції) називається корелограмою.

Аналіз автокореляційної функції і корелограми дозволяє визначити лаг, при якому автокореляція найбільш висока, а , отже, і лаг, при якому зв'язок між поточним і попередніми рівнями ряду найбільш тісна.

Якщо найбільш високий коефіцієнт автокореляції є коефіцієнтом першого порядку, то ряд містить тільки тенденцію. Якщо найбільш високий коефіцієнт автокореляції порядку і, то ряд містить циклічні коливання з періодом в х моментів часу. Якщо жоден із коефіцієнтів автокореляції не є значущим, можна зробити одне з двох припущень відносно структури цього ряду: або ряд не містить тенденції і циклічних коливань, або ряд містить сильну нелінійну тенденцію.

9.3 Моделювання тенденції часового ряду: згладжування та аналітичне вирівнювання

Тенденція (тренд) – напрям розвитку певного явища. В одних випадках тенденцію можна встановити за значеннями рівнів ряду. Розглянемо графічне зображення основних тенденцій.

Рівномірне зростання або зниження представлене на рисунку 9.4, уповільнене зростання (зниження) - на рисунку 9.5, прискорене зростання (зниження) — на рисунку 9.6.

Рисунок 9.4 – Графік рівномірного зростання (—), зниження (---)

Рисунок 9.5 – Графік уповільненого зростання (---), зниження (—)

Рисунок 9.5 – Графік прискореного зростання (—) та зниження (---).

Якщо ж під впливом випадкових факторів рівні ряду не виявляють чіткої тенденції розвитку, то для її виявлення застосовують спеціальні статистичні засоби.

До найбільш простих методів згладжування ряду відносяться методи ступінчастих середніх та плинних середніх. Обчислення ступінчастих середніх проводиться по збільшеним інтервалам часу. При цьому первинні, емпіричні рівні замінюються середніми рівнями. Якщо в динамічному ряді спостерігаються періодичні коливання, то збільшений інтервал слід брати рівним періоду коливання. Такий інтервал «згладжує» випадкові коливання, але не відображає зміну рівнів всередині збільшеного інтервалу.

Суть методу плинної середньої полягає в тому, що середні обчислюються по збільшеним інтервалам при послідовному переміщенні меж інтервалів на один інтервал. При цьому коливання динамічного ряду згладжуються, але недоліком методу є те, що згладжений ряд коротше емпіричного, крім того, він лише ілюструє тенденцію, але не дає можливості кількісно ЇЇ виміряти.

Виявити тенденцію та кількісно її виміряти дає змогу метод аналітичного вирівнювання. При цьому застосовуються «трендові криві» — математичні функції, за допомогою яких описується основна тенденція. Тип функції залежить від специфіки процесу, характеру його динаміки: рівномірне, прискорене чи уповільнене зростання або зменшення рівнів ряду.

На практиці перевага віддається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст і означають абсолютну чи відносну швидкість розвитку, а саме:

• лінійній функції: , де параметр а, характеризує стабільну абсолютну швидкість;

• параболі 2-го ступеня: , яка характеризує стабільний приріст абсолютної швидкості;

• показниковій функції: .

В усіх функціях t – порядковий номер періоду, а₀ – початковий рівень ряду. Зміст інших параметрів залежить від виду функції. Зокрема, а₁ для лінійної – середньорічний абсолютний приріст, для показникової – середньорічний темп зростання, для параболи 2-го порядку – початковий абсолютний приріст.