7.4 Проблема оцінювання параметрів системи, загальна характеристика методів. Непрямий метод оцінювання параметрів строго ідентифікованої системи рівнянь

Коефіцієнти структурної моделі можуть бути оцінені різними способами залежно від виду системи одночасних рівнянь. Найбільшого поширення в літературі набули такі методи оцінювання коефіцієнтів структурної моделі:

1) непрямий метод найменших квадратів;

2) двокроковий метод найменших квадратів;

3) трьохкроковий метод найменших квадратів;

4) метод максимальної правдоподібності з повною інформацією;

5) метод максимальної правдоподібності при обмеженій інформації.

Розглянемо коротко сутність кожного з цих методів.

Непрямий метод найменших квадратів (НМНК) застосовується у випадку точно ідентифікованої структурної моделі. Процедура застосування НМНК передбачає виконання наступних етапів роботи.

1. Структурна модель перетворюється в зведену форму моделі.

2. Для кожного рівняння зведеної форми моделі звичайним МНК оцінюються наведені коефіцієнти.

3. Коефіцієнти зведеної форми моделі трансформуються в параметри структурної моделі.

Якщо система надідентифікована, то НМНК не використовується, бо він не дає однозначних оцінок для параметрів структурної моделі. У цьому випадку можуть використовуватися різні методи оцінювання, серед яких найбільш поширеним і простим є двокроковий метод найменших квадратів (ДМНК).

Основна ідея ДМНК – на основі зведеної форми моделі отримати для надідентифікованого рівняння теоретичні значення ендогенних змінних, що містяться в правій частині рівняння.

Далі, підставивши їх замість фактичних значень, можна застосувати звичайний МНК до структурної форми надідентифікованого рівняння. Метод отримав назву двокрокового МНК, бо двічі використовується МНК: на першому кроці при визначенні зведеної форми моделі і отримання на її основі оцінок теоретичних значень ендогенної змінної і на другому кроці стосовно структурного надідентифікованого рівняння при визначенні структурних коефіцієнтів моделі за даними теоретичних (розрахункових) значень ендогенних змінних.

Надідентифікована структурна модель може бути двох типів:

1) всі рівняння системи надідентифіковані;

2) система містить поряд з надідентифікованими рівняння, що точно ідентифікуються.

Якщо всі рівняння системи надідентифіковані, то для оцінки структурних коефіцієнтів кожного рівняння використовується ДМНК. Якщо в системі є точно ідентифіковні рівняння, то структурні коефіцієнти по них знаходяться з системи зведених рівнянь.

Непрямий і двокроковий методи найменших квадратів докладно описані в літературі і розглядаються як традиційні методи оцінки коефіцієнтів структурної моделі. Ці методи досить легко реалізувати.

Метод максимальної правдоподібності розглядається як найбільш загальний метод оцінювання, результати якого при нормальному розподілі ознак збігаються з МНК. Однак при великому числі рівнянь системи цей метод призводить до досить складних обчислювальних процедур. Тому в якості модифікації використовується метод максимальної правдоподібності при обмеженій інформації (метод найменшого дисперсійного відношення), розроблений в 1949 р. Т. Андерсоном і Н. Рубіним.

На відміну від методу максимальної правдоподібності в даному методі зняті обмеження на параметри, пов'язані з функціонуванням системи в цілому. Це робить рішення більш простим, але трудомісткість обчислення залишається досить високою. Незважаючи на його значну популярність, до середини 60-х років він був практично витіснений двокроковим методом найменших квадратів (ДМНК) у зв'язку з набагато більшою простотою останнього.

Подальшим розвитком ДМНК є трикроковий МНК (ТМНК), запропонований в 1962 р. А. Зельнером і Г. Тейл. Цей метод оцінювання придатний для всіх видів рівнянь структурної моделі. Однак при деяких обмеженнях на параметри більш ефективним виявляється ДМНК.