4.5 Критерії залежності між змінними

У статистичній практиці можуть зустрічатися такі випадки, коли якості факторних і результативних ознак не можуть бути виражені чисельно. Тому для вимірювання тісноти залежності необхідно використовувати інші показники. Для цих цілей використовуються так звані непараметричні методи.

Найбільше поширення мають рангові коефіцієнти кореляції, в основу яких покладено принцип нумерації значень статистичного ряду. При використанні коефіцієнтів кореляції рангів корелюються не самі значення показників Х і Y, а лише номери їхніх місць, які вони займають у кожному ряді значень. У цьому випадку номер кожної окремої одиниці буде її рангом.

Коефіцієнти кореляції, засновані на використанні рангового методу, були запропоновані К. Спірменом і М. Кенделом.

Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена ( ) заснований на розгляді різниці рангів значень результативної і факторної ознак і може бути розрахований за формулою:

(4.4)

де d – різниця рангів кожної пари значень;

n – число спостережень.

Цей коефіцієнт визначає ступінь тісноти зв’язку порядкових ознак, які представляють собою ранги порівнюваних величин.

Величина коефіцієнта кореляції Спірмена лежить в межах від +1 до -1. Він може бути як додатним так і від’ємним, характеризуючи напрямок зв’язку між двома ознаками, що виміряні в ранговій шкалі.

Приклад 4.3. По даним про прибуток і обсяг кредитних вкладень банків одного із регіонів визначити за допомогою коефіцієнта Спірмена залежність між цими ознаками.

Таблиця 4.3 – Розрахунок коефіцієнта Спірмена

№ банку	Кредитні вкладення, тис.грн., Х	Прибуток, тис.грн., Y	Ранги		Різниця рангів
			Rx	Ry
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2887 1710 3010 2472 2535 1897 2783 1862 1800 2003	557 605 628 488 418 397 501 589 269 437	9 1 10 6 7 4 8 3 2 5	7 9 10 5 3 2 6 8 1 4	2 -8 0 1 4 2 2 -5 1 1	4 64 0 1 16 4 4 25 1 1
Всього	—	—	—	—	—	120

(зв’язок слабкий)

Для застосування коефіцієнту Спірмена необхідно дотримуватись наступних умов:

• порівнювані вибірки мають бути отримані в порядковій (ранговій) шкалі, але також можуть бути виміряні в шкалі інтервалів і відношень.

• характер розподілу корелюючи змінних не має значення.

• число варіюючи ознак в порівнюваних змінних X i Y має бути однакове.

Ранговий коефіцієнт кореляції Кендела (τ) також може використовуватися для виміру зв’язку між якісними і кількісними ознаками, що характеризують однорідні об’єкти і рангова ні за одним принципом. Розрахунок рангового коефіцієнта кореляції Кендела можна провести за формулою:

(4.5)

де S – сума різниць між числом послідовностей і числом інверсій по другій ознаці.

Розрахунок даного коефіцієнта виконується в наступній послідовності:

1. Значення Х рангуються в порядку зростання чи спадання;

2. Значення Y розміщуються в порядку, що відповідає значенню Х;

3. Для кожного рангу Y визначається число слідуючих за ним значень рангів, що перевищують його величину. Сумуючи таким чином числа визначається величина Р, як міра відповідності послідовності рагів по Х і Y і враховується зі знаком (+);

4. Для кожного рангу Y визначається число слідуючих за ним значень рангів, менших його величини. Сумарна величина визначається через Q і фіксується зі знаком (-);

5. Визначається сума балів по всім членам ряду.

В наведеному прикладі (табл. 4.3):

Р = 1 + 8 + 1 + 6 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 = 29

Q = (-8) + 0 + (-6) + 0 + (-1) + (-1) + 0 + 0 + 0 = -16

Таким чином:

,

що свідчить про практичну відсутність зв’язку між досліджуваними ознаками по даній сукупності комерційних банків.

Як правило, коефіцієнт Кенделла менше коефіцієнта Спірмена. При достатньо великій вибірці значення даних коефіцієнтів мають наступну залежність:

(4.6)

Зв’язок між ознаками вважається статистично значимим, якщо значення коефіцієнтів рангової кореляції Спірмена і Кендела більше 0,5.

До непараметричних методів дослідження можна віднести коефіцієнт асоціації К_а і коефіцієнт контингенції К_к, які використовуються, якщо, наприлад, необхідно дослідити тісноту зв’язку між якісними ознаками, кожна з яких представлена у вигляді двох груп.

Для визначення цих показників будується таблиця, яка показує зв’язок між двома явищами, кожне з яких має бути альтернативним, тобто складатися з двох якісно відмінних один від одного значень ознак.

Таблиця 4.4 – Розрахунок коефіцієнтів асоціації та контингенції

а	b	a + b
c	d	c + d
a + c	b + d	a + b + c + d

Коефіцієнти розраховуються за формулами:

асоціації: (4.7)

контингенції: (4.8)

Коефіцієнт контингенції завжди менше коефіцієнта асоціації. Зв’язок вважається підтвердженим, якщо або .

Приклад 4.4 Досліджується зв’язок між участю населення одного з міств екологічних акціях і рівнем його освіти. Результати дослідження характеризуються наступними даними:

Таблиця 4.5 – Залежність участі населення міста в екологічних акціях від рівня освіти

Групи робітників	Чисельність населення міста	З них
		приймають участь в акціях	не приймають участі в акціях
Мають середню освіту Не мають середньої освіти	100 100	78 32	22 68
Всього	200	110	90

Таким чином, зв’язок між участю населення міста в екологічних акціях і рівнем його освіти має місце, але не суттєво.

Самостійна робота №4 – Непараметричні методи дослідження.

Критерій знаків, критерій Пірсона, критерій Фехнера, двохвибірковий критерій Колмогорова-Смірнова, медіанний тест.