2.8 Етапи дослідження загальної лінійної моделі множинної регресії. Визначення параметрів рівняння регресії.

Лінійна множинна регресія – рівняння зв’язку з декількома незалежними змінними:

(2.30)

де у – залежна змінна (результативна ознака);

х₁, х₂,…, х_m – незалежні змінні (фактори).

Для побудови рівняння множинної регресії найчастіше використовуються наступні функції:

лінійна – ;

степенева – ;

експонента – ;

гіпербола – .

Можна використовувати і інші функції, що приводяться до лінійного вигляду.

Для дослідження зазначеної моделі слід виконати такі кроки.

1. За даними спостережень оцінити параметри a₀, a₁, ..., a_m.

2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислити:

а) залишки моделі – розбіжності між фактичними та розрахунковими значеннями залежної змінної ;

б) відносну похибку залишків та її середнє значення;

в) залишкову дисперсію;

г) коефіцієнт детермінації;

д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції.

3. Перевірити статистичну значущість отриманих результатів:

а) перевірити адекватність моделі загалом: за допомогою F-критерію Фішера;

б) перевірити значущість коефіцієнта множинної кореляції;

в) перевірити істотність кожного коефіцієнта регресії: за допомогою t-критерію Стьюдента;

г) оцінити вплив кожного регресора на якість моделі, тобто обчислити часткові коефіцієнти детермінації;

д) оцінити вплив окремих груп регресорів на змінювання регресанда, застосувавши F-критерій Фішера.

4. Обчислити та інтерпретувати коефіцієнти еластичності.

5. Визначити довірчі інтервали регресії при рівні значущості .

6. Побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії.

7. Обчислити прогнозні значення y_р за значеннями , що перебувають за межами базового періоду, і знайти межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозованих значень і межі довірчих інтервалів середнього прогнозу.

2.9 Розрахунок коефіцієнтів множинної лінійної регресії

Для оцінки параметрів рівняння множинної регресії застосовують метод найменших квадратів (1 МНК). Для лінійних рівнянь будується наступна система нормальних рівнянь, рішення якої дозволяє отримати оцінки параметрів регресії:

(2.31)

Для її рішення може бути використаний метод визначників:

, (2.32)

де – визначник системи;

– частинні визначники, що отримані шляхом заміни відповідного стовпця матриці визначника системи даними лівої частини системи.

Інший вид рівняння множинної регресії – рівняння регресії в стандартизованому масштабі:

, (2.33)

де – стандартизовані змінні;

– стандартизовані коефіцієнти регресії.

до рівняння множинної регресії в стандартизованому масштабі застосуємо МНК. Стандартизовані коефіцієнти регресії ( -коефіцієнти) визначаються з наступної системи рівнянь:

. (2.34)

Неважко встановити зв’язок між коефіцієнтами «чистої» регресії та стандартизованими коефіцієнтами :

. (2.35)

Параметр а₀ визначається як

. (2.36)

Співвідношення (2.35) дозволяє переходити від рівняння вигляду (2.33) до рівняння вигляду (2.30).

Стандартизовані коефіцієнти регресії показують на скільки «сігм» зміниться в середньому результат (Y), якщо відповідний фактор х_і зміниться на одну «сігму» при незмінному середньому рівні інших факторів.

Приклад 2.2. Досліджується залежність між вартістю грузового автомобільного перевезення Y (тис. грн), вагою вантажу Х₁ (тон) і відстанню Х₂ (тис.км) по 20 транспортним компаніям. Початкові дані наведені в таблиці 2.2.

Таблиця 2.2 – Початкові дані

Y	51	16	74	7,5	33,0	26,0	11,5	52	15,8	8,0	26	6,0	5,8	13,8	6,2	7,9	5,4	56	25,5	7,1
X1	35	16	18	2,0	14,0	33,0	20	25	13	2,0	21	11,0	3	3,5	2,8	17,0	3,4	24	9,0	4,5
X2	2	1,1	2,55	1,7	2,4	1,55	0,6	2,3	1,4	2,1	1,3	0,35	1,65	2,9	0,75	0,6	0,9	2,5	2,2	0,95

В даному прикладі ми розглядаємо просторову вибірку об’єму n = 20, число пояснюючих змінних k = 2.

Проводимо специфікацію моделі у вигляді лінійної функції:

(2.37)

Звідси слідує, що система нормальних рівнянь для моделі (2.37) буде мати вигляд:

(2.38)

Розрахуємо по даним таблиці 2.2 необхідні для запису вказаної системи суми (табл. 2.3):

Таблиця 2.3 – Допоміжні розрахунки

№ п/п	Y	X1	X2	Y2	X12	X22	YX1	YX2	X1X2
1	51	35	2	2601	1225	4	1785	102	70
2	16	16	1,1	256	256	1,21	256	17,6	17,6
3	74	18	2,55	5476	324	6,50	1332	188,7	45,9
4	7,5	2	1,7	56,25	4	2,89	15	12,75	3,4
5	33	14	2,4	1089	196	5,76	462	79,2	33,6
6	26	33	1,55	676	1089	2,40	858	40,3	51,15
7	11,5	20	0,6	132,25	400	0,36	230	6,9	12
8	52	25	2,3	2704	625	5,29	1300	119,6	57,5
9	15,8	13	1,4	249,64	169	1,96	205,4	22,12	18,2
10	8	2	2,1	64	4	4,41	16	16,8	4,2
11	26	21	1,3	676	441	1,69	546	33,8	27,3
12	6	11	0,35	36	121	0,12	66	2,1	3,85
13	5,8	3	1,65	33,64	9	2,72	17,4	9,57	4,95
14	13,8	3,5	2,9	190,44	12,25	8,41	48,3	40,02	10,15
15	6,2	2,8	0,75	38,44	7,84	0,56	17,36	4,65	2,1
16	7,9	17	0,6	62,41	289	0,36	134,3	4,74	10,2
17	5,4	3,4	0,9	29,16	11,56	0,81	18,36	4,86	3,06
18	56	24	2,5	3136	576	6,25	1344	140	60
19	25,5	9	2,2	650,25	81	4,84	229,5	56,1	19,8
20	7,1	4,5	0,95	50,41	20,25	0,90	31,95	6,745	4,28
Сума	454,5	277,2	31,8	18206,89	5860,9	61,45	8912,57	908,56	459,24
Середнє	22,73	13,86	1,59	910,34	293,05	3,07	445,63	45,43	22,96

Отримаємо систему нормальних рівнянь у вигляді:

Для рішення системи рівнянь використаємо метод визначників.

,

,

,

.

Тоді

Рівняння регресії має вигляд: . Або з врахуванням (2.35-2.36) і розрахунків:

,

.

Рівняння регресії в стандартизованому вигляді: .

Тобто зі зростанням ваги вантажу на одну сігму при незмінній відстані вартість вантажних автомобільних перевезень збільшується в середньому на 0,77 сігми. Оскільки 0,77 > 0,56, то вплив ваги вантажу на вартість грузових автомобільних перевезень більше, чим фактор відстані.

Самостійна робота № 2 – Аналіз функції множинної лінійної регресії.

Множинний коефіцієнт кореляції і детермінації [4, c. 100-102]. Частинні коефіцієнти кореляції і коефіцієнти регресії [4, c. 105-107]. Дисперсії та стандартні похибки коефіцієнтів [1, c. 163-166]. Інтервальні оцінки коефіцієнтів теоретичного рівняння регресії [1, с. 166-168].