Комплексные изображения гармонических функций времени

Гармонической функции времени а(t) = А_mcos(ωt + ψ) можно поставить в соответствие комплексную функцию а, называемую мгновенным текущим комплексом гармонической функции, добавив к вещественной функции а(t) мнимую составляющую Im= А_msin(ωt + ψ):

Вещественная часть мгновенного комплекса равна исходной гармонической функции:

Мгновенный комплекс можно представить в виде вращающегося вектора a=|a|e^jα(t), |a|= , α(t)=θ=ωt+ψ.

A_m

-A_m

𝜓

a(t)

Значение мгновенного комплекса а в момент времени t = 0 называется комплексной амплитудой гармонической функции времени

a(t) = A_m cos(ωt + ψ):

Комплексная амплитуда гармонической функции времени a(t) представляет собой комплексное число , модуль которого равен амплитуде А_m рассматриваемой функции, а аргумент — ее начальной фазе ψ. Геометрически комплексная амплитуда изображается в виде неподвижного вектора, амплитудой А_m и углом ψ

Мгновенный комплекс:

.

Сомножитель e^jωt – это вектор, называемый оператором вращения. Он имеет единичную длину и вращается против часовой стрелки со скоростью ω.

Все токи и напряжения ветвей цепи являются гармоническими функциями времени одинаковой частоты.

Все они могут быть представлены с помощью мгновенных комплексов, имеющих одинаковый вектор вращения. Поэтому достаточно при анализе определить амплитуды и начальные фазы этих колебаний, т.е. найти их комплексные амплитуды.

Таким образом, каждой гармонической функции времени a(t) можно единственным образом поставить в соответствие комплексное число (комплексную амплитуду), называемое изображением гармонической функции.

знак отображения

Операции над комплексными изображениями гармонических функций

1. Изображение умножение гармонической функции на вещественное число α:

а₁(t) = А_m1cos(ωt + ψ₁)

a(t) = α a₁(t)

2. Изображение алгебраической суммы гармонической функции:

3. Изображение производной гармонической функции:

4. Изображение интеграла от гармонической функции:

Эти свойства позволяют от интегродифференциальных уравнений во временной области перейти к алгебраическим уравнениям для комплексных амплитуд.

Наряду с комплексной амплитудой вводят комплексное действующее значение:

Величины называют комплексным током и напряжением соответственно.

Лекция 5

Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи.

Выделим двухполюсный участок цепи без источников энергии:

Комплексным входным сопротивлением (комплексным сопротивлением) Z пассивного участка цепи называется отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

[Ом]

Комплексное сопротивление – это комплексное число:

z = |Z| - модуль комплексного сопротивления или полное входное сопротивление;

φ – аргумент комплексного сопротивления;

r – вещественная (резистивная) составляющая;

Величина, обратная комплексному входному сопротивлению, называется комплексной входной проводимостью участка цепи:

[См]

.

М одуль комплексной входной проводимости или полная входная проводимость: y = |Y|; = ― φ -

,

g = y cos , b = y sin

, .

Связь между мнимыми и вещественными составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводимости: