Компонентные и топологические уравнения Законы Кирхгофа

Электрические процессы в цепях описываются компонентными и топологическими уравнениями.

Компонентные уравнения или уравнения ветвей – это математические модели ветвей, которые связывают ток и напряжение ветви через параметры элементов этой ветви по закону Ома:

.

Ветви электрической цепи делятся на вырожденные и невырожденные.

Невырожденные ветви устанавливают связь между током и напряжением и имеют две формы:

1. ;

2. 

Для вырожденной ветви ток и напряжение не зависят друг от друга:

1. В ветви только источники напряжения:

u=e₁ – e₂+e₃

2. В етвь содержит источник тока

Топологические уравнения устанавливают связь между токами или напряжениями различных ветвей.

Первый закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов цепи, в любой момент времени равна нулю.

Для каждого из узлов цепи может быть составлено уравнение баланса токов:

Коэффициент а_lk = 1, если k-я ветвь подключена к l-му узлу и ток ветви направлен от узла; а_lk = −1, если k-я ветвь подключена к l-му узлу и ток ветви направлен к узлу; а_lk = 0, если k -я ветвь не подключена к l-му узлу.

(1):

(0) i₁ + i₂ ― i₆ = 0.

Если записать , то закон можно сформулировать так:

сумма мгновенных значений токов, направленных к любому узлу цепи, в любой момент времени равна сумме токов, направленных от этого узла.

Второй закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех ветвей, входящих в любой контур цепи, в каждый момент времени равна нулю.

Для каждого контура можно составить уравнение баланса напряжений ветвей:

k — номера ветвей; р — число ветвей;

n — номера контуров; N — число контуров.

b_lk = 1, если k-я ветвь входит в l-й контур и направление напряжения ветви совпадает с направлением обхода контура; b_lk = −1, если

k-я ветвь входит в l-й контур и направление ее напряжения противоположно направлению обхода контура; b_lk = 0, если k-я ветвь не входит в l-й контур.

1. – u₁ + u₂ = 0;

2. – u₂ + u₃ = 0;

Уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить и для напряжений всех элементов, входящих в контур:

или

В общем виде:

Из этого может быть следующая формулировка второго закона Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений напряжения всех элементов любого контура моделирующей цепи, за исключением источников напряжения, в каждый момент времени равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС источников напряжения, действующих в этом контуре.

Общее число уравнений баланса токов и напряжений равно сумме числа узлов и числа контуров исследуемой цепи. Однако, часть этих уравнений линейно зависима, т.е. могут быть получены одни из других.

Определение числа линейно независимых уравнений осуществляется с помощью теории графов.

Графы схем электрических цепей

Граф есть совокупность отрезков произвольной длины и формы, называемых ветвями (ребрами), и точек их соединения между собою, называемых узлами.

В теории цепей используют направленные графы, у которых каждому ребру приписывается направление, указываемое стрелкой.

Направленный граф – это упрощенная модель цепи, определяющая ее топологические свойства. Граф цепи строят по ее схеме замещения. Каждую ветвь цепи заменяют ветвью графа, узел цепи преобразуют в узел графа, направление ветви графа совпадает с условно положительным направлением токов ветвей цепи.

расширенный граф сокращенный граф

Нумерация ветвей совпадает с нумерацией ветвей и узлов схемы цепи.

Свойства графа определяются только числом ветвей p и узлов q и способом соединения ветвей между собой.

Графы, имеющие одинаковое число узлов и ветвей, соединенных между собой одинаковым образом, называются изоморфными:

Если узел i является концом ветви j, то они инцидентны.

Подграф – это часть графа, содержащая часть ветвей графа и инцидентные им узлы. Степень узла графа равна числу ветвей, инцидентных данному узлу. (1) – степень 4, (3) – степень 3.

Путь — это подграф, у которого последовательно соединены ветви, причем каждая ветвь и узел встречаются в пути только один раз.

Замкнутый путь – это путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают, называется контуром.

Св зный граф — это граф, между любыми двумя узлами которого существует, по крайней мере, один путь.

Деревом св зного графа называется св зный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева, ветви, не вошедшие в дерево, называются главными ветвями.

У графа может быть много деревьев:

Каждое дерево имеет m = q − 1 ветвей дерева и n = р – m = − q + 1 главных ветвей.

Добавление к дереву графа любой главной ветви образует контур:

Главные контуры состоят из ветвей дерева и одной главной ветви.