9. Размещения

Кортежи ^длины т, составленные из элементов множества X, содержащего п элементов, называются размещениями с повторени­ями из п элементов по т элементов.

Число таких размещений обозначают А™ и подсчитывают по формуле Л;;¹ = п^т.

Кортежи длины гп, составленные из неповторяющихся элемен­тов множества X, содержащего п элементов, называются размеще­ниями без повторений из п элементов по т элементов.

Число таких размещений обозначают Л™ и подсчитывают по формуле А™ — п (п — 1) • ... ■ (п — т -\- 1).

Пример 1. Имеется 5 различных стульев и 7 рулонов оби­вочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осу­ществить обивку стульев?

Решение. Так как стулья различны, то каждый способ обивки есть, по существу, кортеж длины 5, составленный из элемен­тов данного множества цветов ткани, содержащего 7 элементов. Значит, всего способов обивки стульев столько, сколько имеется таких кортежей, т. е. размещений с повторениями из 7 элементов по 5. Л₇⁵ = 7⁵ ==16807.

П р и м е р 2. В шахматном турнире участвуют 5 школьников и 15 студентов. Сколькими способами могут распределяться места, занятые в турнире школьниками, если известно, что никакие два участника не набрали одинакового количества очков?

Решение. Всего в турнире 20 участников. Следовательно, из 20 мест школьникам принадлежит 5. Поэтому решение задачи связано с образованием всевозможных кортежей длины 5 из эле­ментов множества, в котором 20 элементов, т. е. речь идет о разме­щениях без повторений из 20 элементов по 5 элементов:

Л₂о = 20 • 19 • 18 • 17 • 16 = 1 860 480.

128. Образуйте из элементов множества X = {а, Ь, с, d} все возможные кортежи длины 2. Как называются эти кортежи в ком­бинаторике? Сколько их получилось?

129. Образуйте из элементов множества Х= {а, Ь, с, а} все возможные кортежи длины 2 так, чтобы в них не повторялись эле­менты. Как называются эти кортежи в комбинаторике? Сколько их получилось?