Упражнения

1. Укажите среди следующих предложений высказывания:

а) Луна — спутник Земли.

б) Все студенты любят математику.

в) Принеси мне, пожалуйста, книгу!

г) Некоторые люди имеют голубые глаза.

д) Вы были в театре?

2. Какие из следующих предложений являются истинными и какие ложными высказываниями?

а) Число ■—2 меньше числа 0.

б) Частное от деления числа 7 на пуль равно 0.

в) Сумма числа 5 и числа к равна 10.

г) Существует такое действительное число х, что 2*4-5=19.

д) (13—2-7)-4==—4.

е) Все треугольники равнобедренные.

3. Среди следующих высказываний укажите пары эквивалентных по смыслу: А — «Сегодня воскресенье»; В — «Вчера была суббота»;

С — «Завтра будет вторник»; D —- «Завтра будет понедельник».

4. Даны высказывания — А: «Земля вращается вокруг Солнца» и В: «Земля имеет форму шара». Образуйте из данных высказываний составные и подчеркните слова, при помощи которых они образованы.

б. Среди следующих высказываний укажите составные; выделите в них эле­ментарные, обозначив каждое из них буксой; запишите с помощью букв каждое составное высказывание.

а) На уроке математики учащиеся отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу.

б) Мы пойдем кататься на коньках или на лыжах.

в) Если в четырехугольнике диагонали имеют равную длину, то этот четы- рехугольник — ромб.

г) —17<0.

д) Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.

§ 2. Операции над высказываниями

1. Отрицание высказываний. Если Л — некоторое высказыва­ние, то, утверждая, что оно ложно, мы получаем новое высказыва­ние, которое называют отрицанием высказывания А и обозначают символом А. Символ А читают: «не-Л». Так, если Л — высказывание «Река Ангара — приток Енисея», то его отрицанием будет высказы­вание Л: «Неверно, что река Ангара — приток Енисея». Это выска­зывание может быть сформулировано и в таком виде: «Река Ангара не является притоком Енисея». В данном примере высказывание Л истинно, а его отрицание, высказывание Л,— ложно.

Отрицанием ложного высказывания В («3²=6») является истин­ное высказывание В («3V=6»).

Таким образом, если некоторое высказывание истинно, то его отрицание ложно, и наоборот. Этот вывод можно записать при помощи таблицы, в которой буква «И» означает истинное высказы­вание, а буква «Л» — ложное. Таблицы подобного вида называют таблицами истинности.

А	А
И	Л
Л	И

Разобранные выше примеры наглядно показывают, что отрицание некоторого высказывания Л можно получить, если перед данным вы­сказыванием поставить слова «неверно, что» или к сказуемому из вы­сказывания Л добавить частицу «не».

Если высказывание Л уже содержит частицу «не» перед сказуе­мым, то для образования высказывания Л ее надо отбросить. На­пример, если Л — высказывание «Иванов не решил задачу», то вы­сказывание Л будет таким: «Иванов решил задачу».

Л1^сТь_Л__— некоторое высказывание. Его отрицание А также является высказыванием, и потому можно образовать отрицание

высказывания Л, т. е. высказывание Л, которое называют двойным отрицанием высказывания Л. Так, если Л есть высказывание «I простое число», то отрицание А имеет вид: «17 не является простым

числом», а высказывание Л будет таким: «Неверно, что число 17 — непростое». Это высказывание можно сформулировать короче: «17 — простое число». Таким образом, сделав двойное отрицание, мы скова вернулись к высказыванию Л.

Вообще любое высказывание Л равносильно высказыванию А, т. е. Л=Л. Действительно, составим таблицу истинности для вы­сказываний Л и Л. Из этой таблицы видно, что высказывания Л и А либо одновременно истинны, либо одновременно ложны и, следова­тельно, они равносильны.

А А	А
И Л И
л | и	Л