Упражнения

!. В следующих составных высказываниях выделите составляющие их эле­ментарные высказывания; укажите среди них истинные импликации:

а) Если число 48 кратно 8, то оно кратно 4;

б) Если —3<— 1, то 3²=6;

в) Если З^а= 10, то у собаки четыре ноги;

г) Если 2-2=5, то существуют ведьмы.

2. В каждой из следующих импликаций выделите условие и заключение и сформулируйте импликации, противоположную данной и обратную противопо­ложной; определите, истинны они или ложны:

а) Если идет дождь, то мостовая мокрая;

б) Если я опоздал на работу, то мне объявят выговор;

22 Д У ^ r_:i^>

в) Если ученика перевели в следующий класс, то он получил по всем пред­метам отличные отметки.

3. Даны высказывания А: «Четырехугольник MNPQ—параллелограмм» и В: «Диагонали четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам». Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим формулам:

а) /1=>б; б) В=>Д; в) А; г) В; д) Л=ф1; е) £=М.

4. Составьте таблицы истинности для следующих формул: а) A=>(BwC); б) (Л=>В)У (А=ФС).

5. Докажите, что если Л, В и С — некоторые элементарные высказывания, то

а) А =ф (В=>С)== (А А В)=ФС;

б) {А =>В) А (Л =>С')= А —>(В А С).

. 5. Эквнвалешдия высказываний. Тавтологии. Из двух высказы­ваний А и В можно составить новое высказывание, которое читается так: «А в том и только в том случае, если В». Это высказывание на­зывают этиваленцией высказываний А и В и обозначают: А&В. Счи­тают, что высказывание АоВ истинно, если оба высказывания А и В истинны или об<гШШШваНШ7Ги В ложны. В остальных случаях (от. е. если одно из этих высказываний истинно, а другое ложно) эквшаленцию считают ложной. Таким образом, таблица истинности для эквиваленции А и В имеет вид:

А	в		А <й> В
И	и
И		л | л
Л	и		Л
л	л		и

Например, высказывание «Число 129 делится на 3 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3», имеет вид АоВ, где А — высказывание «Число 129 делится на 3», а В — высказы­вание «Сумма цифр числа 129 делится на 3». Так как оба высказы­вания истинны, то и высказывание А&В истинно. Истинно и выска­зывание «Число 127 делится на 3 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3» — в этом случае и А и В ложны (на самом деле число 127 не делится на 3, а сумма его цифр 1+2+7=10 тоже не делится на 3). Высказывание же «Число 195 делится на 3 в том и только том случае, когда сумма его цифр делится на 4» лож­но, так как само число 195 делится на 3, а сумма его цифр равна 15 и на 4 не делится.

В предыдущих пунктах мы показали, как с помощью отрицания и операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации можно из задан­ных высказываний А, В, С строить новые высказывания. При этом было показано, например, что независимо от того, истинны или лож­ны высказывания А и В, составные высказывания ААВ и В/\А или одновременно истинны, или одновременно ложны. Теперь мы можем то же самое сказать иначе: эквиваленция А /\В<$В/\А всегда истин-

т

23

дующими соотношениями, справедливость которых можно устано­вить при помощи таблиц истинности:

а) ААВ = ЛуВ; б) JVB^AAB.

Эти соотношения называют формулами де Моргана¹^

Так, если А — высказывание «ЯГ играю в шахматы», а В — вы­сказывание «Я играю в шашки», то высказыванию «Неверно, что я играю в шахматы или в шашки» соответствует формула А\/В. Но поскольку формула А У В равносильна формуле А Л В, то высказы­вание «Неверно, что я играю в шахматы или шашки» можно заме­нить высказыванием «Я не играю в шахматы и не играю в шашки».