§ 3. Логические операции

13. Высказывания и предикаты

Высказыванием называется любое предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Высказывания принято обозначать прописными буквами латин­ского алфавита: Л, В, С и т. д. Если высказывание Л истинно, то

2 Заказ ПО

33

130. Используя цифры 3, 5, 7, 9, образуйте все возможные дву- значные числа так, чтобы в записи числа цифры: а) не повторялись; б) повторялись. Сколько чисел получилось в каждом случае?

Проверьте ответ, вычислив А\ и А\.

131. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно обра­зовать из цифр 2, 4, 6, 7, 9, если цифры в записи числа: а) повторя­ются; б) не повторяются?

132. Сколькими способами из 40 учащихся класса можно выде­лить актив в составе: староста, комсорг и редактор стенгазеты?

133. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами мо­гут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получит неудовлетворительной оценки?

134. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

135. Сколькими способами могут быть присуждены первая, вто­рая и третья премии трем лицам, если число соревнующихся рав­но 12?

136. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг (три горизонтальные цветные полосы различных цветов), если име­ется материал пяти различных цветов?

137. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколь­кими способами он может это сделать?

138. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, если любую из них в каждом числе использовать не более одного раза?

10. Перестановки без повторений

Размещения без повторений из п элементов по п элементов называются перестановками без повторений из п элементов.

Число перестановок без повторений из п элементов обозначают Р_п и подсчитывают по формуле Р_п = п\, где п\ — 1 • 2 • 3 • ...х x п. Считают также, что 1! = 1, 0! = 1.

15!

Пример 1. Найти значение выражения-—^. Решение. Представим числитель 15! в виде произведения 7! • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15. В знаменателе оставим без изменения множитель 7!, а второй множитель заменим произведе­нием натуральных чисел:

15' _ 71 ■ 8 • 9 ■ 10 ■ И • 12 • 13 • 14 ■ 15 7! -9! ~ 7I-1-2.3-4-5-6-7.8-9*

Произведем сокращение и получим:

_!5L = п . 13 • 5 = 715.

7! -9!

Пример 2. Сколько можно составить пятизначных чисел, не кратных 5, из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если любую из них использо­вать один раз?

Решение. Из пяти различных цифр можно составить Р_ь

30

пятизначных чисел. Среди них содержатся и пятизначные числа кратные пяти. Они оканчиваются цифрой 5, и их столько, сколько существует перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, т. е. Я₄. Таким образом, из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить Р_ь — Р₄ = 5! _ 4! — )20 — — 24 = 96 пятизначных чисел, не кратных пяти.

139. Найдите значение выражения: 1 а) —; ' б) —; .в) —;

_{v ' - , 121 ' 171 ' 18!}

М Л-;'*) -J*-; е) ^7i+6! + ^5!; -з) 171-16.16! -15.15!

_ 5! 4! ' 6! 4! ' 12! 6! ' 8! — 7! ' 14!

140. Упростите: a) ^(fe ~ ^2)!; б)

^Г ' U ' (р — 2)!

141. Сколькими нулями оканчивается число: а) 18!; б) 251?

142. В турнире участвуют 6 человек. Сколькими способами мо­гут распределяться между ними места?

143. Сколькими способами можно рассадить 12 человек за круглым столом?

144. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова: а) «треугольник»; б) «кортеж»?

145. Множество состоит из б элементов: а, Ь, с, d, е, /. Сколько кортежей длины 6 можно составить из элементов данного множе­ства (буквы в кортеже не повторяются)? Во скольких кортежах элемент а будет первым? Во скольких кортежах элемент а будет первым, а элемент / — последним?

146. Сколько перестановок без повторений можно составить из элементов множества {а, Ь, с, d, <?}? Во скольких перестановках элемент е будет последним? Во скольких перестановках элемент а будет первым, а элемент b — последним?

147. Сколько пятизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что каждая цифра входит в пятизначное число только один раз?

148. Сколько шестизначных чисел, не кратных 5, можно обра­зовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что каждая цифра входит в шестизначное число только один раз?

149. Сколько четных пятизначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что каждая цифра входит в пяти­значное число только один раз?

150. Сколько четных пятизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что каждая цифра входит в пятизнач­ное число только один раз?