Упражнения

1. Образуйте отрицание каждого из следующих высказываний; укажите, является истинным данное высказывание или его отрицание: А: «Число 3 — делитель числа 523»; В: «Значение выражения 18: (7—7) не существует»;

С: «Любое действительное число х является корнем уравнения 7>х— 12—0»; D: «Существуют параллелограммы с конгруэнтными диагоналями».

тов обозначают С„ и подсчитывают по формуле С„ = — или

рт _ »1 '

ml (я — т)\

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать 3 ленты разных цветов из 5 лент различных цветов?

Решение. Так как порядок выбора лент не играет роли, то в задаче речь идет о выделении из множества, в котором 5 элемен­тов, трехэлементных подмножеств,т.е.о сочетаниях без повторений из пяти элементов по три. Их число равно: С\ = ^ ' ^ ' ^ = "0. Таким образом, требуемый выбор можно осуществить десятью спо­собами.

* *

ф

15!. Составьте все подмножества множества X и найдите их число, если: а) X — {а}; б) X = {а, в,}; в) X = {а, в, с}.

152. Сколько трехэлементных подмножеств имеет множество /VI = {а, Ь, с, d}? Сколько полученных подмножеств: а) содержит элемент о; б) не содержит элемента Ь7

153. Сколько подмножеств имеет множество, содержащее 6 элементов? Сколько среди них двухэлементных? трёхэлементных?

154. Вычислите: С», С*, С₆, С\.

155. Сколькими способами читатель может выбрать 4 книги

из 6?

156. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комис- сию, состоящую из 3 человек?

157. В шахматном турнире принимают участие 12 шахматистов. Сколько будет сыграно партий, если любые два участника встре­тятся между собой один раз?

158. На шахматном турнире, проводившемся в один круг (лю­бые два участника встречались между собой один раз), была сыг­рана 91 партия. Сколько человек участвовало в турнире?

159. В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого шестиугольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке?

160. Дано п точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести, соединяя точки попар­но?

161. Из отряда солдат в 40 человек, среди которых есть рядовой Иванов, назначаются в караул 3 человека. Сколькими различными способами может быть составлен караул? В скольких случаях в число караульных попадет рядовой Иванов?

12. Упражнения к § 2

162. Из числа 70 учеников пятых классов в кружке по матема- тике занимается 51 человек, в литературном — 40, в историче- ском — 22, 6 человек занимается во всех кружках, 32 — в матема­ тическом и литературном, 11 — в математическом и историческом, 8 -- в литературном и историческом. Сколько пятиклассников не занимаются ни в одном из этих кружков?

163. Для автомобильных номеров в СССР используются 10 цифр и 28 букв (кроме е, й, ь, ъ, ы). Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр (кроме сочетания цифр 00 — 00). Какое максималь­ное число машин может получить номера при такой системе?

164. Множество состоит из 6 элементов: а, Ъ, с, d, е, f. Сколько перестановок без повторений можно составить из элементов этого множества? Во скольких из них элемент а не будет расположен ни на первом, ни на последнем месте?

165. Сколько четных пятизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что каждая цифра входит в пяти­значное число только один раз?

166. Сколько имеется пятизначных чисел, кратных пяти?

167. Во взводе 5 сержантов и 50 солдат. Сколькими способами можно составить наряд из одного сержанта и трех солдат?

168. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 9 дней. Сколь­кими способами это можно сделать, если известно, что последний экзамен он сдает на девятый день?

169. На собрании должны выступить 4 человека: Л, В, С и D. Сколькими способами их можно разместить в списке ораторов, если известно, что В не может выступать, пока не выступит Л?

170. От двух спортивных обществ, в каждом из которых по 40 фехтовальщиков, надо выделить по 3 фехтовальщика для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?

171. В кружке художественного слова занимаются 15 человек, в фортепьянном — 10, в вокальном — 13 и в фотокружке — 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из 4 чте­цов, 3 пианистов, 5 певцов и одного фотографа?

172. Собрание из 100 человек выбирает председателя, секрета­ря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

173. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 5498, если каждую цифру использовать не более одного раза?

174. На железной дороге 25 станций. На каждом билете печа­таются станция отправления и станция назначения. Сколько всего различных билетов нужно оформить, если: а) каждый билет дей­ствителен только в указанном направлении; б) каждый билет годен либо на поездку «туда», либо на поездку «обратно»?