Упражнения

1. Среди следующих высказываний укажите дизъюнкции двух элементарных высказываний и определите, истинны они или ложны:

• а) Квадратный корень из числа 36 равен 6 или —6; »б) число 29 простое или составное; в) 15«:1Б; г) 0>-7.

2. Сформулируйте отрицание высказывания А: «5^3». Верно ли, что выска­зывание А таково: «5<3»?

3. Дано высказывание «—4<—9». Укажите среди следующих высказываний его отрицание:

а) —4>—9; б) — Аф—9; в) —4>—9;

г) Неверно, что —4<—9; д) Неверно, что —4<—9.

4. Докажите, что для любых высказываний А, В и С:

a) AvA=A; б) Ал (BvC)= (ЛдВ)У (А Л С);

в) АУ (ВлС)= (AvВ)л (AvС); г) AV (АлВ)=А;

д) А Л (AvB)—A; е) АЧВ=АлВ; ж) AaB=AvB; s) АлА=А,

4. Импликация высказываний. Рассмотрим составное высказы­вание, которое образовано из двух элементарных при помощи слов «если..., то...».

Пусть, например, даны высказывания А: «Вчера было воскре­сенье» и В: «Я не был на работе». Тогда составное высказывание «Если вчера было воскресенье, то я не был на работе» имеет форму «Если А, то В».

Высказывание «Если А, то В» называют импликацией высказыва­ний А, В я при помощи символов записывают так: А=^В. Высказы­вание А, входящее в импликацию Л=^б, называют условием импли­кации, а высказывание В — ее заключением.

Условились считать, что импликация «Если А, то В» ложна лишь в одном случае: высказывание А истинно, а высказывание В ложно; во всех других случаях импликация истинна.

Поэтому таблица истинности импликации «Если А, то Б» имеет вид:

» Де Морган (1806—1871) — шотландский математик и логик,

А	в	Л =>в
И	и	и
И	л	л
л	и	и
л	л	и

Согласно определению импликации высказывание «Если вче­ра было воскресенье, то я не был на работе» ложно лишь в одном случае: вчера действительно было воскресенье (т. е. условие «Вчера было воскресенье» истинно), а я был на работе (т. е. заключение «Я не был на работе» ложно). Во всех других случаях данное состав­ное высказывание истинно: и тогда, когда высказывания «Вчера было воскресенье» и «Я не был на работе» истинны, ив тех случаях, когда высказывание «Вчера было воскресенье» ложно. (Если вы­сказывание А ложно, то по определению импликация А=>В всегда истинна, независимо от того, истинно или ложно высказывание В.)

Употребление слов «если..., то ...» в логике отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что если высказывание А ложно, то высказывание «Если А, то В» вообще не имеет смысла.

Кроме того, строя предложения вида «Если А, то В» в обыденной речи, мы почти всегда подразумеваем, что предложение В следует (вытекает) из предло­жения А. Употребление слов «если..., то ...» в логике не требует этого, поскольку, как мы уже отмечали раньше, смысл высказываний в логике не рассматривается. Поэтому с точки зрения логики допустимы, например, такие импликации: «Если 2-2=5, то вода в реке соленая» или «Если слово «дом» является глаголом, то город Варшава — столица Польши». В приведенных примерах импликаций условие и заключение никаким образом не связаны друг с другом, но по определению обе импликации истинны, потому что в первом примере условие и заключение ложны, а во втором условие ложно, а заключение истинно.

Операция импликации двух высказываний может быть выражена через операции отрицания и дизъюнкции; для любых высказываний А и В имеем:

(A=>B)=(AVB).

Равносильность формул Л=^В и А\/В легко устанавливается при помощи таблиц истинности:

А	в	А	А->В	AvB
И	и	л	И	и
И	л	л	л	л
л	И	И	И | и
л	л	и	и	и .

Пусть имеется импликация А~>В. Переставив местами ее условие и заключение, получим новую импликацию В^>А, которую называ-

v_3) Даны высказывания:

А: «Я купил велосипед»; В: «Я путешествовал по СССР» и С: «Я участвовал, в соревнованиях по велоспорту».

Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим формулам:

а) ЛлВ; б) ЛЛВЛС; в) АЛС; г) АлВ; д) 1лС.

йу Пользуясь высказываниями А, В и С, заданными в упражнении 3, запи-шитеКс помощью символов логики высказываний следующие высказывания:

а) Я не путешествовал по СССР.

б) Я купил велосипед и участвовал в соревнованиях.

в) Я не путешествовал по СССР и не купил велосипед.

г) Я купил велосипед, но не участвовал в соревнованиях.

д) Неверно, что я участвовал" в соревнованиях и путешествовал по СССР. 5. Докажите, что ЛЛЛ=Л. -

в. Составьте таблицы истинности для следующих формул: а) ЛЛВ; б) ЛлВ; в) АлВ.

3. Дизъюнкция высказываний. Соединив два элементарных вы­сказывания А и В союзом «или», получим новое высказывание, на­зываемое дизъюнкцией данных высказываний. Дизъюнкцию выска­зываний А и В обозначают АХ'Вк читают: «Л или В». Дизъюнкция ложна только в том случае, когда оба высказывания, из которых она образована, ложны; во всех остальных случаях дизъюнкция ис­тинна. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

А	В	A VB
И	и	и
И	л	и
Л	и и
л	л л

Следует обратить внимание на некоторую особенность употребления союза «или» в логике. В обыденной речи союз «или» употребляется в двух смыслах: как неразделительный и как разделительный. Рассмотрим, например, высказывание «Отправление поезда запрещается, если машинисту не передали жезл или де­журный по станции одет не по форме». Ясно, что поезд нельзя отправлять и в том случае, когда у машиниста нет жезла, а дежурный по станции одет не по форме. Здесь союз «или» является неразделительным, он не противопоставляет соединя­емые им части. Иную роль играет этот союз в предложении «Завтра в 12 часов дня я буду в институте или на заводе». Так как невозможно быть одновременно и в институте, и на заводе, то здесь союз «или» понимается как разделительный — он взаимно исключает соединяемые им части.

Из таблицы видно, что в математической логике союз «или» понимают как неразделительный — если оба соединяемых им высказывания истинны, то и все высказывание истинно. Если хотят подчеркнуть разделительный смысл, то вместо «или» говорят «либо..., либо...» (например, «Завтра в 12 часов дня я буду либо в институте, либо па заводе»).

Образуем из двух элементарных высказываний «10>7», «10=7» дизъюнкцию «10>7 или 10=7». Нетрудно убедиться в том, что эта дизъюнкция истинна, так как истинно входящее в нее высказывание «10>7». Высказывание «10>7 или 10=7» обычно записывают в виде: 10>7. Таким образом, нестрогое числовое неравенство представляет собой дизъюнкцию строгого неравенства, и равенства. Зная это, легко определить, истинны или ложны, например, такие неравенства: %<2, 2>3. Неравенство 2<2 истинно.так как является дизъюнкцией высказываний 2=2 и 2<2, первое из которых истинно. Неравенство 2~>3 ложно, поскольку является дизъюнкцией двух ложных вы­сказываний: 2>3 и 2=3.

Для дизъюнкции, так же как и для конъюнкции, можно указать ряд равносильностей. Для любых высказываний А, В и С имеем:

А\/В—В\/А (коммутативность дидъюнкцииЪ.-

(Л \/В)\/С—А V (В\/С) (ассоциативность дизъюнкции)..,.,...

Так, если А — высказывание «Сейчас солнечно», а В — выска­зывание «Сейчас дождливо», то высказывание «Сейчас солнечно или дождливо» равносильно высказыванию «Сейчас дождливо или сол­нечно».

Свойство ассоциативности дизъюнкции позволяет опускать скоб­ки и писать А\'В\'С вместо (А\/В)\/С.

При помощи таблиц истинности нетрудно установить, что

(А\/В)АС=(ААС)\/(ВЛС);

(А /\В)уС=(А VC)A(BVC).

Первое равенство выражает дистрибитшный закон конъюнкции относительно дизъюнкции, а второе — дистрибутивный Шщсищ& юнкции отмсщельно__ конъюнкции.

Образуем дизъюнкцию некоторого высказывания А и его отри­цания Л, т. е. высказывание Л \М. Так как из двух высказываний А и А всегда одно истинно, а другое ложно, то дизъюнкция, Л У Л будет истинна для любого высказывания Л. Если составить табли­цу истинности для высказывания А\/А, то мы увидим, что столбец значений этого высказывания содержит только И.

А	А	AvA
И	л	И
л	И	И

В этом случае говорят, что формула Л Vil тождественно истинна и записывают: Л \/Л = И.

Рассмотрим такое высказывание: «Уравнение х³-!-5=0 имеет действительные корни или не имеет их». Обозначим высказывание «Уравнение х²+5=0 имеет действительные корни» через Л. Тогда высказывание «Уравнение х²+5=0 не имеет действительных кор­ней» имеет вид Л. Таким образом, данному составному высказыва­нию соответствует формула Л \/Л, тождественно истинная при лю­бых значениях Л. Поэтому и данное высказывание тождественно истинно.

Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны сле-

2. Д«Ю высказывание А: «Существуют четные простые числа». Определите истинна' »мо или ложно; укажите среди следующих высказываний отрицание

выс'_ ■ :<• ■ .1.

В: <1. шествуют нечетные простые числа»;

( «Неверно, что существуют четные простые числа»;

I): «Любое простое число нечетно».

3. Для высказывания А: «Любые два треугольника подобны» сформулируйте отрицание и двойное отрицание. Какие из этих трех высказываний истинны?

2. Конъюнкция высказываний. Пусть Л и В — два элементарных высказывания. Соединив их союзом «и», получим новое высказыва­ние, которое называется конъюнкцией данных высказываний и обоз­начается А/\В. Запись ЛДВ читают: «Л и В».

По определению, конъюнкция двих высказываний истинна в том и только в том случае, когда истинны оба высказывания. Если же хотя бы одно из них ложно, то и конъюнкция ложна.

Это определение конъюнкции можно записать при помощи таб­лицы истинности:

А	в	А л В
И	и | и
И	л л
л	и	л
л л | л

Рассмотрим высказывание «7—4—3 и 4 — четное число». Оно является конъюнкцией двух высказываний: «7—4=3» и «4—четное число». Так как оба эти высказывания истинны, то по определению истинна и их конъюнкция.

Образуем из двух высказываний «3<8» и «8<11» конъюнкцию: «3<с8 и 8<11». Она истинна, поскольку истинны оба высказывания, входящие в нее. Обычно высказывание «3<8и 8<11» записывают короче: 3<С8<11- Таким образом, двойное числовое неравенство пред­ставляет собой конъюнкцию двух неравенств. Зная это, можно ска­зать, что, например, неравенство 9<8<11 ложно, так как ложно одно из высказываний, входящих в него, а именно неравенство 9<8.

Если в конъюнкции Л /\В поменять местами высказывания Л и В, то получим конъюнкцию вида В А А. Из таблицы истинности видно, что формулы Л/\В и ВДЛ при различных значениях выска­зываний Л и В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны:

А	в	А л В	В /\ А
И И		И	И
и | л		Л	Л
л	и	Л	Л
л	л	Л	Л

Следовательно, они равносильны, и для любых высказываний Л и В имеем:

А>\В=В/\А.

Эта запись выражает коммутативное свойство конъюнкции, позволяющее менять местами" члены конъюнкции. Так, если Л — высказывание «Число 12 кратно 4», а В — высказывание «Число 12 кратно 3», то высказывание «Число 12 кратно 4 и 3» равносильно высказыванию «Число 12 кратно 3 и 4».

Составив таблицы истинности для (Л/\В)/\С и Л/\(В/\С), по­лучим, что при любых значениях истинности высказываний Л, В и С значения истинности высказываний (Л/\В)/\С и Л/\ (ВАС) совпа­дают. Таким образом, (Л А В) Д.С=Л д (В д С). Это равенство выра­жает свойство асш^иатшносщи, конъюнкции; оно позволяет опу­скать скобки в конъюнкции трех и более высказываний. Такая конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда все входящие в нее высказывания истинны.

Образуем конъюнкцию некоторого высказывания Л и его отри­цания А, т. е. конъюнкцию ЛДЛ. Каким бы ни было в этом случае высказывание Л (истинным или ложным), высказывание Л ДЛ всег­да ложно, так как представляет конъюнкцию двух высказываний, которые не могут быть истинными одновременно.

Например, высказывание «Число 7 является простым и не являет­ся простым» заведомо ложно, независимо от того, простое число 7 или нет — если оно простое, то ложна вторая половина конъюнкции, а если оно не является простым, то ложна первая часть конъюнкции. Если составить таблицу истинности для высказывания ЛДЛ, то столбец значений этого высказывания содержит только J1:

А	А АаА
И Л Л
л	И | л

В этом случае говорят, что формула Л дЛ тождественно ложна, ^и записывают: ЛДЛ=Л. Здесь Л означает заведомо ложное вы­сказывание.

Упражнения

1. Даны высказывания А: «4-2=8» и В: «(—5) ²=25». Образуйте конъюнкцию данных высказываний и определите, истинна она или ложна.

2. Среди следующих составных высказываний укажите конъюнкции и оп­ределите, истинны они или ложны;

*а) Число 27 кратно 3 и 9. б) 17<25<23.

*в) Диагонали любого параллелограмма перпенди.!*улярны и делят друг друга пополам. ' .... „_ч .,

» г) Данный треугольник равнобедренный или равносторонний.

д) У |«=-4, но —4Ф (—2)^!Л.

Ч^ЙО>>

ких предположениях об истинности А и В эти высказывания надо считать истинными, а при каких ложными. Затем мы выясним, ка­кие из составных высказываний, составленных из данных элемен­тарных высказываний, эквивалентны, т. е. одновременно истинны или одновременно ложны.