на, т. е. Л АВ&ВДЛ = И, где И означает заведомо истинное вы­сказывание. Вообще, если высказывания А и В эквивалентны, то эквиваленция Ае>В истинна. Справедливо и обратное, если АоВ^ = И, то А=В.

Составные высказывания, истинные при любых предложениях о входящих в них элементарных высказываниях,называют тавтоло­гиями. Значит, А/\В<&В/\А и А\JB<$BVA — тавтологии. Приве­дем еще один важный пример тавтологии:

((А=^В) /\А)=>В. Эта тавтология означает, что если истинна им­пликация Л=^В и истинно условие Л, то истинно и следствие В. Для доказательства надо составить таблицу истинности.

Упражнения

\к\Цаны высказывания А: «Число 729 кратно 9» и В: «Сумма цифр числа 729 кратна 9». Сформулируйте высказывания: а) АхфВ; б) £=>Л; в) А<=>В.

Даны высказывания М: «Треугольник ABC — равнобедренный» и N: «ДвсНшсоты треугольника ABC конгруэнтны». Сформулируйте высказывания: а) М=Ф#; б) Nz=*>M\ в) M&N. Какие из них истинны, а какие ложны?

3. Даны высказывания А: «Сегодня ясно», В: «Сегодня идет снег», С: «Я буду писать письма» и D: «Сегодня понедельник».

Прочитайте, пользуясь обычным языком, составные высказывания: a) AaD; б) АлВ\ в) DaAaC; г) AwВ\

д) Я=фС; е) COD; ж) (Л Л£)=>£>. ~

4. Из элементарных высказываний А: «Завтра будет дождь», В: «Мы пойдем в театр», С: «Завтра будет солнечно» и D: «Завтра занятия начнутся раньше обыч- ного» образованы следующие составные.

а) Если завтра будет дождь, то занятия начнутся -.раньше обычного и мы пойдем в театр.

б) Завтра будет солнечно или будет дождь; и занятия начнутся раньше обыч- ного.

в) Завтра занятия начнутся раньше обычного и мы пойдем в театр в том и только том случае, если не будет дождя и будет солнечно.

Запишите данные составные высказывания, используя символы логики вы­сказываний. Однозначно ли можно понять высказывание в)?

(рб}^аждое из элементарных высказываний, входящее в следующие ниже со старые высказывания, обозначьте буквой и запишите эти составные высказы­вания в символической форме.

а) В город я поеду на автобусе, или на трамвае, или на такси.

б) Если прямая А В перпендикулярна прямой CD и прямой KL, то прямые CD и KL параллельны.

в) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его противоположные стороны попарно параллельны,

6. Составьте таблицу истинности для формулы (Л=ф£)л (В^фА) и сравните ее с таблицей истинности эквиваленции АОВ.

Равносильны ли высказывания (Л=>£)л (Bz=$>A) и АОВ?

7. Докажите следующие тавтологии: а) А V BOA ЛВ\ б) ((А^фВ)=фА)ОА,

Г лава II

МНОЖЕСТВА, КОРТЕЖИ, КОМБИНАТОРИКА

₄ § L ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

I. Множества. Понятие множества является одним из основных понятий математики. Поясним его примерами. Так; можно говорить о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве уча­щихся некоторой школы, о множестве решений неравенства х+5> >12х , о множестве парт в данной аудитории и т, д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «соб­рание», «коллекция», «стадо», «табун» и т. д.

Объекты любой природы (люди, дома, книги, геометрические фигуры, числа и т. д.), составляющие множество, называют его элементами. Например, число 3 является элементом множества на­туральных чисел, май — элементом множества месяцев в году. Отношение между множеством и его элементами, которое мы вы­разили словами является элементом, выражают и при помощи сло­ва принадлежит. Так, можно сказать, что число 3 принадлежит множеству натуральных чисел.

Для сокращения записи различных высказываний о множествах и их элементах принята следующая символика: множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элемен­ты — малыми, слово «принадлежит» заменяют символом g .

Высказывание «Объект а принадлежит множеству /1» записыва­ют так: а£А. Запись а£А можно прочитать иначе: «Объект а есть элемент множества Л».

Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству /1» записы­вают так: а (£ Л, причем эта запись может быть прочитана и иначе: «Объект а не является элементом множества Л».

Например, если А — множество четных натуральных чисел, то следующие высказывания об элементах множества А истинны:

16 6, Л, 328 € Л, 17$Л, 1-у £4.

Для некоторых числовых множеств имеются специальные обоз­начения. Так, множество всех натуральных чисел обозначают бук­вой N, множество целых неотрицательных чисел — буквой 2Г_в> множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рацио­нальных чисел — буквой Q и множество всех действительных чи­сел — буквой R.

ют импликацией, обратной данной. Так, для импликации «Если сумма цифр числа 138 кратна 3, то и само число 138 кратно 3» об­ратной будет такая импликация: «Если число 138 кратно 3, то сумма цифр числа 138 кратна 3». В данном случае и данная импликация, и ей обратная истинны. Но так бывает не всегда. Например, импли­кация «Если 5>2, то 5 — число четное» ложна, а обратная ей «Если 5 — число четное, то 5>2» — истинна, поскольку ложно ее условие.

Другая импликация получается из импликации /\=>В путем замены высказываний А и В их отрицаниями. Она имеет вид А=>Ви называется противоположной импликации А-.В. Наконец, если заменить А и В их отрицаниями и одновременно переставить места­ми условие и следствие, то получим импликацию В=>А. С помощью таблиц истинности легко проверяется, что высказывания Л=>В и В=М равносильны (закон контрапозиции):

Это позволяет по каждой импликации строить равносильную ей импликацию. Например, импликации «Если последней цифрой в десятичной записи числа 140 является 0, то это число делится на 5» равносильна импликация «Если число 140 не делится на 5, то по­следняя цифра ее десятичной записи отлична от 0». Обе эти импли­кации истинны. Первая истинна потому, что истинно и утверждение, что 140 кончается цифрой 0, и утверждение, что 140 делится на 5, а тогда истинна и импликация А=>В; вторая же импликация истинна потому, что в ней и условие, и следствие ложны (неверно и то, что 140 не делится на 5, и то, что последняя цифра этого числа отлична от 0). А в этом случае импликация тоже истинна.

Заметим, что импликации В~>А и А=>В тоже равносильны:

В=>А=А=>В.

Выясним в заключение, как составить отрицание импликации A-уВ. Мы уже установили, что А=уВ—А\/ В. Поэтому можно запи­сать А=>В=А\/В. Но по формуле де Моргана имеем ~АуВ=А/\В— =А /\В. Значит, А=>В—А /\В. Это означает следующее: чтобы дока­зать, что из А не следует В, надо показать, что А истинно и В ложно,