3. Метод проекции в геодезии. Характеристика проекции Гаусса – Крюгера, учет искажений при использовании карт. Прямоугольные координаты Гаусса – Крюгера.

Поверхность земного шара невозможно изобразить на плоскости без искажений, поэтому строят условные изображения земной поверхности. Такое изображение земной поверхности на плоскости называется картографическими проекциями.

В одних проекциях искажаются все элементы, но сохраняются отношение площадей (равновеликие проекции), в других не искажаются углы, вследствие чего сохраняется подобие бесконечно малых фигур (равноугольные проекции). Для составления топографических карт принята поперечная цилиндрическая равноугольная проекция Гаусса - Крюгера.

Его сущность: всю земную поверхность делят меридианами на шести или трехградусные зоны. Каждая зона проектируется на поверхность своего цилиндра, касающегося шара по среднему осевому меридиану зоны. Выбор зоны шириной в 3⁰ или 6⁰ зависит от масштаба составляемой карты (при 1:10000 и мельче применяют 6⁰ зону, при 1:5000 и крупнее – 3⁰). Шестиградусные зоны нумеруются арабскими цифрами, начи­ная от гринвичского меридиана, с запада на восток. Так как западная граница первой зоны совпадает с гринвичским меридиа­ном, то долготы осевых меридианов зон будут: 3, 9, 15, 21°, ... Долготу осевого меридиана можно определить по формуле Z.o = 6°N —3°,где N — номер данной зоны. Трехградусные зоны располагаются на земной поверхности так, что все осевые и граничные меридианы шестиградусных зон являются осевыми меридианами трехградусных зон.

Каждый меридиан переносят на цилиндрическую поверхность, затем развернув эту поверхность на плоскости, получают изображение зоны в проекции Гаусса. В проекции осевой меридиан и экватор изображаются взаимно перпендикулярными прямыми линиями, остальные меридианы - кривыми, сходящимися в полюсах, и параллели – симметричными относительно осевого меридиана кривыми, обращенными своей выпуклостью к экватору. На плоскости в проекции Гаусса применяется прямоугольная система координат, причем в каждой зоне берется своя система: за ось абсцисс принимается осевой меридиан, а за ось ординат – экватор. Чтобы все ординаты были положительны, ко всем ординатам прибавляют 500 км. Для полного определения положения точки на земной поверхности впереди измененной ординаты пишут номер зоны, в которой находится точка.

При проектировании зоны на бок поверхность цилиндра Гаусс поставил условие, чтобы искажение бесконечно малого участка на цилиндре было подобно соответствующему бесконечно малому участку на сфере. Это есть условие сохранения подобия бесконечно малых фигур. Следовательно, углы между соответствующими направлениями на шаре и в проекции равны между собой. Масштаб длин точек постоянный вследствие прямоугольности проекции и не зависит от направления.

Масштаб измеряется по формуле:

m=1+Y² /2R²

где Y-удаление точки от осевого меридиана, R=6371 км-радиус земли. Если у=0, m=1, то это есть линия осевого меридиана, она изображается без искажений. Все остальные линии искажаются, при их удалении от осевого меридиана искажение увеличивается. На краях всех зон максимальное искажение достигает:

S_Г-S₀=1/862*S₀.

Длины линий в проекции Гаусса искажаются на величину поправки:

∆S = (Y²/2 R²)*S,

∆S – это поправка за редуцирование расстояния при переходе с шара на плоскость в проекции Гаусса, она всегда

положительна, т.к. длина линии на карте всегда больше длины линии на местности. Искажение площадей, учитывают поправку в площадь за переход с поверхности шара на плоскость в проекции Гаусса ∆P=(Y²/ R²)* P.