Пример. Банк начисляет по вкладам 2% ежемесячно. Внесена сумма 6900 руб. Во что она превратится через 8 месяцев (при условии, что сама сумма и начисляемые проценты остаются нетронутыми в течение всего срока)? Какую сумму S0 нужно внести в банк для того, чтобы через 2 года она превратилась в сумму 8000 руб.?
Решение. По условию S0 = 6900 руб., i = 0,02, n = 8. Т.к. процентная ставка ежемесячная и период начисления тоже измеряется в месяцах, то наращенную за 8 месяцев сумму можно вычислить по формуле:
S8 = 6900(1+0,02)8=7770,52руб.
Теперь вычислим, какую сумму S0 нужно внести в банк для того, чтобы через 2 года она превратилась в сумму 8000 руб.?
Ежемесячно начисляется 2% от начального вклада, за 2 года произойдёт 24 начисления. Через 2 года наращенная сумма должна составить 8000 = S0(1+0,02)24, тогда S0=4973,77руб.
Пример. Клиент вносит в пенсионный фонд по 1600 руб. ежегодно в течение 10 лет. Какая сумма должна быть в фонде к концу 10-ого года, при условии, что он инвестирует вклады в предприятия, дающие 12% годовых (прибыли)? Какой должна быть ежегодно вносимая сумма для того, чтобы накопленная сумма равнялась 10000 руб.?
Решение. Данный поток платежей можно рассматривать, как конечную годовую ренту с параметрами R = 1600, n = 10, i =0,12.
Вычислим наращенную за 10 лет сумму:
S = 1600[(1+0,12)10-1]/0,12 = 28077,97.
Значит, к концу 10-ого года в фонде должна быть сумма 28077,97 руб.
Теперь узнаем, какой должна быть ежегодно вносимая сумма для того, чтобы накопленная сумма равнялась 10000 руб. Обозначим искомую величину х. Тогда имеем:
10000 = х∙[(1+0,12)10-1]/0,12,
следовательно, х = 569,85 ≈ 570.
Следует ежегодно вносить в пенсионный фонд 570 руб. для того, чтобы через 10 лет накопленная сумма немного превысила 10000 руб.
Пример. Имеется два вида вкладов в банке:
а) с ежеквартальной выплатой 5% от начального вклада (но без начисления процентов на проценты);
б) с последующим начислением процентов на проценты (но без ежеквартальных выплат) по i = 4% в квартал.
В обоих случаях вклад вносится сроком на 2 года.
Какой из вкладов выгоднее для вкладчика? При каких значениях i выгоднее первый вид вклада? Те же два вопроса при условии 2-процентной ежеквартальной инфляции.
Решение. Рассмотрим вклад (а). Наращение происходит по схеме простых процентов. Пусть начальный вклад S0 . Если ежеквартально начисляется 5% от начального вклада, то годовая процентная ставка 4∙5%=20%. Через 2 года наращенная сумма составит S2 = S0∙(1+2∙0,2)=1,4∙S0. При этом процентные деньги составляют 0,4∙S0 .
Теперь рассмотрим вклад (б). Наращение происходит по схеме сложных процентов. Пусть начальный вклад S0 .
Если ежеквартально начисляется 4% от начального вклада, то за 2 года будет произведено 8 начислений по формуле сложных процентов, наращенная сумма составит S2 = S0∙(1+0,04)8=1,3686∙S0. Процентные деньги составляют 0,3686∙S0 .
Таким образом для вкладчика является наиболее выгодным вклад (а).
Узнаем, при каких еще значениях i выгоднее первый вид вклада. Решим неравенство 1,4∙S0> S0∙(1+i)8 и получим
i < 0,0430. Таким образом, первый вид вклада выгоднее второго при ежеквартальной процентной ставке второго вклада менее 4,30%.
При условии 2-процентной ежеквартальной инфляции реальная процентная ставка по первому вкладу будет равна
(0,05-0,02)/(1+0,02)=0,03/1,02 ≈ 0,0294, т.е. 2,94% в квартал. Вычислим реальную процентную ставку по второму вкладу:
(0,04-0,02)/(1+0,02)=0,02/1,02 ≈ 0,0196,
т.е. 1,96% квартальных. При этом мы вправе учесть реальное обесценивание денег. По условию первого вклада проценты снимают со счёта, и хотя номинально сумма одна и та же, она имеет разную покупательную способность в разные моменты времени. Но здесь мы это не будем учитывать. Вычислим наращенные суммы по первому и второму видам вкладов:
а) S2 = S0∙(1+8∙0,0294)=1,2352∙S0;
б) S2 = S0∙(1+0,0196)8=1,1680∙S0.
Делаем вывод, что в условиях инфляции первый вид вклада по-прежнему является более выгодным.
Решая неравенство 1,2352∙S0> S0∙(1+i)8 , получаем
i < 0,0268. Таким образом, первый вид вклада выгоднее второго в условиях инфляции при ежеквартальной процентной ставке второго вклада менее 2,68%.
Задания
Вариант 1
Задача № 1
Банк начисляет по вкладам 5% ежемесячно. Внесена сумма 7200 руб. Во что она превратится через 8 месяцев ( при условии, что сама сумма и начисляемые проценты остаются нетронутыми в течение всего срока )?
В условиях предыдущего вопроса выяснить, какую сумму S0 нужно внести в банк для того, чтобы через 2 года она превратилась в сумму 8000 руб.
Задача № 2
Клиент вносит в пенсионный фонд по 1800 руб. ежегодно в течение 10 лет. Какая сумма должна быть в фонде к концу 10 - го года, при условии, что он инвестирует вклады в предприятия, дающие 8% годовых ( прибыли ) ?
В условиях предыдущего вопроса определить, какой должна быть ежегодно вносимая сумма для того, чтобы накопленная сумма равнялась 10000 руб.
Задача № 3
Имеется два вида вкладов в банке:
а) с ежеквартальной выплатой 6% от начального вклада (но без начисления процентов на проценты);
б) с последующим начислением процентов на проценты (но без ежеквартальных выплат) по i = 4% в квартал.
В обоих случаях вклад вносится сроком на 2.5 года.
1. Какой из вкладов выгоднее для вкладчика?
2. При каких значениях i выгоднее первый вид вклада?
3. Те же два вопроса при условии 2 - процентной ежеквартальной инфляции.
Вариант 2
Задача № 1
Банк начисляет по вкладам 4% ежемесячно. Внесена сумма 3100 руб. Во что она превратится через 7 месяцев ( при условии, что сама сумма и начисляемые проценты остаются нетронутыми в течение всего срока )?
В условиях предыдущего вопроса выяснить, какую сумму S0 нужно внести в банк для того, чтобы через 2 года она превратилась в сумму 14000 руб.
Задача № 2
Клиент вносит в пенсионный фонд по 850 руб. ежегодно в течение 10 лет. Какая сумма должна быть в фонде к концу 10 - го года, при условии, что он инвестирует вклады в предприятия, дающие 11% годовых ( прибыли ) ?
В условиях предыдущего вопроса определить, какой должна быть ежегодно вносимая сумма для того, чтобы накопленная сумма равнялась 22500 руб.
Задача № 3
Имеется два вида вкладов в банке:
а) с ежемесячной выплатой 7% от начального вклада (но без начисления процентов на проценты);
б) с последующим начислением процентов на проценты (но без ежемесячных выплат) по
i = 5% в месяц.
В обоих случаях вклад вносится сроком на 1 год.
1. Какой из вкладов выгоднее для вкладчика?
2. При каких значениях i выгоднее первый вид вклада?
3. Те же два вопроса при условии 3 - процентной ежемесячной инфляции.
Вариант 3
Задача № 1
Банк начисляет по вкладам 3% ежемесячно. Внесена сумма 4900 руб. Во что она превратится через 10 месяцев ( при условии, что сама сумма и начисляемые проценты остаются нетронутыми в течение всего срока )?
В условиях предыдущего вопроса выяснить, какую сумму S0 нужно внести в банк для того, чтобы через 2 года она превратилась в сумму 7700 руб.
Задача № 2
Клиент вносит в пенсионный фонд по 750 руб. ежегодно в течение 8 лет. Какая сумма должна быть в фонде к концу 8 - го года, при условии, что он инвестирует вклады в предприятия, дающие 14% годовых ( прибыли ) ?
В условиях предыдущего вопроса определить, какой должна быть ежегодно вносимая сумма для того, чтобы накопленная сумма равнялась 12500 руб.
Задача № 3
Имеется два вида вкладов в банке:
а) с ежеквартальной выплатой 3% от начального вклада (но без начисления процентов на проценты);
б) с последующим начислением процентов на проценты (но без ежеквартальных выплат) по i = 2% в квартал.
В обоих случаях вклад вносится сроком на 1,5 года.
1. Какой из вкладов выгоднее для вкладчика?
2. При каких значениях i выгоднее первый вид вклада?
3. Те же два вопроса при условии 1 - процентной ежеквартальной инфляции.