1.3 Спiввiдношення невизначенностей

У класичнiй механiцi стан частинки однозначно визначається значенням її координат та трьох складових iмпульсу: у кожний момент часу t координати та складовi iмпульсу мають суворо визначене значення, яке можна вимiряти з будь-якою точнiстю. Траєкторiя руху частинки визначається сукупнiстью її положень.

Чи можна застосувати такий спосiб описування стану до мiкрочастинки? Нехай вона рухається уздовж осi x, володiючи iмпульсом . Їй вiдповiдає монохроматична хвиля довжиною . Така хвиля - протяжний об'єкт: у цьому випадку вона тягнеться по осi x вiд до . Тому iнтервал , у якому локалiзована мiкрочастинка з iмпульсом , дорiвнює . Тобто мiкрочастинка, яка володiє визначеним iмпульсом , не має визначеної координати x.

Можна показати обернене: у мiкрочастинки з визначеною координатою x невизначене значення .

На вiдмiну вiд частинки класичної механiки, мiкрочастинки, у силу своєї корпускулярно-хвильової природи, не мають одночасно визначених точно координат та складових iмпульсу. Тому їх стан не може бути описано точним одночасним завданням цих параметрiв.

Якщо це необхiдно зробити, тодi одночасне завдання цих параметрiв можна зробити з вiдомим наближенням, допускаючи невизначенiсть у значеннi координат та невизначенiсть у значеннях складових iмпульсу мiкрочастинки.

Кiлькiсний зв'язок цих невизначеностей встановлено у 1927р. Гейзенбергом. Він має вигляд:

(18)

або , (19)

де – маса мiкрочастинки.

Спiввiдношення (18), (19) – спiввiдношення невизначенностей, вони являються одним з основних законiв квантової механiки: чим точнiше визначення координат, тим невизначенiше значення iмпульсу та навпаки. Тому немає сенсу при цьому говорити про траєкторiю руху мiкрочастинки. Розглянемо приклад проявлення цього закону у практиці.

Спiввiдношення (18) існує також для та (рис. 2):

, (20)

де – невизначенiсть значення енергiї; – невизначенiсть значення часу, у плину якого мiкрочастинка володiє енергiєю .

Iз (20) бачимо, що невизначенiсть буде суттєвою для мiкрочастинки при малому часi її перебування у цьому станi: якщо с, то еВ ( – час перебування атома у збудженому станi). Це означає: невизначенiсть така велика, що при переходi атома у незбуджений стан випромiнювання описується не однiєю спектральною лiнiєю, а спектральною дiлянкою з певною шириною. Це проявляється на прикладі роботи лазеру: реальне випромінювання його має не , а .

Рис. 2. Спектр випромінювання лазера.

1.4 Застосування рiвняння Шредiнгера

Рух вiльної частинки

Для цiлковито вiльної частинки, яка рухається уздовж осi , і рiвняння Шредiнгера (9) набуває такого вигляду:

. (21)

Рiшенням цього рiвняння буде:

, (22)

де – хвильова функцiя, яка задовольняє амплiтудному рiвнянню Шредiнгера (11):

. (23)

, тому Е являє собою кiнетичну енергiю частинки: . Пiдставимо це у (23) і одержимо:

. (24)

Позначимо: . Тодi:

. (25)

Окремими рiшеннями рiвняння (25) будуть:

та , (26)

де - постiйнi коефiцiєнти.

Спiльним рiшенням для (25) буде:

. (27)

Помноживши обидвi частини цього рiвняння на , одержимо рiшення рiвняння (21):

. (28)

Рiвняння (28) відображує суперпозицiю двох плоских хвиль, якi розповсюджуються у протилежних напрямках. Для частинки, яка рухається у позитивному напрямку осi , та

. (29)

Для частинки, що рухається протилежно осi , та

. (30)

У випадку, коли напрям руху вiльної частинки не спiвпадає нi з однiєю iз осей координат, рiвняння Шредiнгера, яке описує цей рух, має такий вигляд:

, (31)

де - вектор, що спiвпадає з напрямком розповсюдження хвиль де Бройля, а за абсолютною величиною дорiвнює:

. (32)

Цей вектор зветься хвильовим. Його компонентами по осях координат є .

Рiшенням рiвняння (30) є хвильова функцiя

, (33)

яка являє собою рiвняння плоскої гармонiчної хвилi, що розповсюджується у напрямку вектора .

У цьому рiвняннi є радiус-вектором, проведеним у будь-яку точку фронту хвилi.

З порiвняння першого та третього виразу у (31) знаходимо:

. (34)

Таким чином, енергiя вiльної частинки пропорцiйна квадрату хвильового вектора. Графiк цiєї залежностi являє собою квадратичну парабулу (рис. 3). На нiяких обмежень не накладається, тому вiльна частинка може володiти будь-якою енергiєю: її енергетичний спектр є суцiльним. Спiввiдношення (34) зветься дисперсiйною формулою.

Фазова та групова швидкiсть

У рiвняннi плоскої хвилi (29), що розповсюджується уздовж осi ,

(35)

представляє собою фазу хвилi. Дiлянка хвилi, що має дане значення фази, перемiщується уздовж осi з визначеною швидкiстю, що зветься фазовою швидкiстю хвилi . Її можна визначити iз умови постiйностi фази: .

Рис. 3. Залежнiсть енергiї вільної мiкрочастинки

Е від хвильового вектора (дисперсiйна крива).

Диференцюючи за часом, знаходимо:

. (36)

Пiдставимо сюди та , одержимо:

. (37)

Iз (37) видно, що фазова швидкiсть хвиль де Бройля залежить вiд їх довжини, тобто має мiсце дисперсiя.

Суворо кажучи, монохроматична хвиля - фiзична абстракцiя. У будь-якому реальному випадку розповсюджується група хвиль, бiльш чи менш близьких за своєю довжиною та напрямком розповсюдження - хвильовий пакет.

Цей пакет розповсюджується з визначенною швидкiстю, що називається груповою швидкiстю :

. (38)

Для хвиль де Бройля . Диференцюючи за , одержимо: . Пiдставимо сюди , будемо мати:

. (39)

Формула (39) показує, що групова швидкiсть розповсюдження хвиль де Бройля дорiвнює швидкостi руху мiкрочастинок.

Тунельний ефект: проходження мiкрочастинок через

потенцiйний бар'єр

Нехай мiкрочастинка рухається уздовж осi

у просторi, в якому силове поле змiнюється стрибком (рис. 4). У областi 1, що простягається вiд до 0, ; У областi 2, що простягається вiд 0 до , потенцiйна енергiя дорiвнює . Перехід з областi 1 у область 2 створює потенцiйний бар'єр висотою .

Рис. 4. Нескiнченно протягнутий прямокутний

потенцiйний бар'єр висотою .

Рух мiкрочастинки описується рiвнянням Шредiнгера (11). Напишемо його для областей 1 та 2.

Для областi 1:

або , (40)

де - хвильова функцiя мiкрочастинки у областi 1, та

. (41)

Для областi 2:

або , (42)

де - хвильова функцiя мiкрочастинки у областi 2, та

. (43)

Загальне рiшення рiвнянь (40) та (42) має такий вигляд:

, де , (44)

, де . (45)

Доданок вiдповiдає хвилi, що розповсюджується у областi 1 у напрямку осi , - амплiтуда цiєї хвилi. Доданок вiдповiдає хвилi, що розповсюджується у областi 1 у напрямку, протилежному . Це хвиля, вiдбита вiд бар'єру, - амплiтуда вiдбитої хвилi. Імовiрнiсть знаходження мiкрочастинки у тому чи iншому мiсцi простору пропорцiйна квадрату амплiтуди хвилi де Бройля, тому вiдношення

(46)

- коефiцiєнт вiдбиття мiкрочастинки вiд бар'єру.

Доданок відповідає хвилі, що розповсюджується у областi 2 у напрямку осi . Квадрат амплiтуди цiєї хвилi відображає iмовiрнiсть проникнення мiкрочастинки у область 2. Вiдношення

(47)

- коефiцiєнт прозоростi бар'єру, - показник заломлення хвилі де Бройля, що дорiвнює вiдношенню довжини хвиль

у областях 1 та 2: .

Доданок повинен відображати вiдбиту хвилю, що розповсюджується у областi 2. Такої хвилi немає, тому .

Iз закона збереження числа частинок виходить, що

. (48)

Можна показати, що для бар'єру, висота якого , коефiцiєнт вiдбиття

. (49)

Такий бар'єр зветься низьким. У таблиці 1 наведено значення для рiзних значень . Iз таблицi видно, що навiть у тому випадку, коли енергiя мiкрочастинки перевищує висоту бар'єру, коефiцiєнт вiдбиття не рiвний нулю: мiкрочастинка має деяку iмовiрнiсть вiдбитися вiд такого бар'єру. Класична частинка у цьому випадку без перешкоджень пройшла б з першої областi у другу, помiнявши лише свою енергiю. При , та проникнення мiкрочастинки у другу область неможливе; класична ж частинка з енергiєю пройде у другу область, тiльки кiнетична енергiя її у цiй областi буде рiвна нулю.

Таблиця 1

	1,0	1,11	1,25	2,0	10
	1,0	0,27	0,146	0,03	0,0007

У випадку високого бар'єру хвильове число стає уявним. Припустимо, що: , де являється дiйсним числом. Тодi хвильовi функцiї y₁ та y₂ набудуть такого вигляду:

, . (50)

Оскiльки рiшення не являється плоскою хвилею, воно не описує частинку всерединi бар'єру. Проте iз умови неперервностi хвильової функцiї очевидно, що для бар'єру кiнцевої товщини iмовiрнiсть знаходження частинки на зворотнiй стiнцi бар'єру дорiвнює:

, (51)

тобто, вiдмiнна вiд нуля. Цей факт показує можливiсть проходження (просочування) мiкрочастинок крiзь потенцiйний бар'єр кiнцевої товщини (рис. 5а). Таке просочування одержало назву тунельного ефекту. На основi (51) коефiцiєнт прозоростi такого бар'єру дорiвнює:

, (52)

де - коефiцiєнт пропорцiйностi, за порядком величини близькій до одиницi.

а б

Рис. 5. Потенцiйний бар'єр кiнцевої товщини:

а - прямокутний; б - довiльної форми.

У таблиці 2 приведена величина для бар'єрiв рiзної товщини, але однаковій висоти еВ. З даних таблиці 2 видно, що бар'єри помiж атомами у кристалах, що мають володiють достатньо високою прозорiстю.

Таблиця 2

	1,0	1,5	2,0	5,0
	0,1	0,03	0,008	5,5.10-7

Для бар'єру довiльної форми (рис. 5б) узагальнення формулы (52) приводить до такого виразу коефiцiєнта прозоростi:

, (53)

де - величина, близька до одиницi.

Чудовим являється те, що при тунельнiм просочуваннi крiзь потенцiальний бар'єр енергiя мiкрочастинок не змiнюється: вони покидають бар'єр з такою ж енергiєю, з якою входять до нього.

Тунельний ефект грає велику роль у електронiцi. Вiн може обумовлювати протiкання таких явищ, як емiсiя електронiв пiд дiєю сильного поля, проходження струму через тонкi дiелектричнi плiвки, пробiй р-n-переходу. На його основi створенi напiвпровiдниковi тунельнi дiоди, розроблюються активнi плiвковi елементи та т.i.

Рух мiкрочастинки у обмеженiй областi простору. Квантування енергiї

Роздивимося рух мiкрочастинки, наприклад, електрона, у потенцiйнiй ямi (рис. 6). Для електрона такою ямою являється, наприклад, шматок металу: поза металу потенцiйна енергiя вiльного електрону , усерединi металу , де - позитивний потенцiал поля, створений вузлами гратки. Електрон не може вiльно покинути метал. Для виходу з нього електрону потрiбно зробити роботу, чисельно рiвну .

Для опису руху електрона у такiй ямi зручнiше вiсь х поєднати з дном ями та розбити простiр на три областi. Запишемо рiвняння Шедiнгера для цих областей.

Рис. 6. Електрон у прямокутній потенцiйній ямі

Області 1 і 3 ідентичні, тоді:

, (54)

де - уявна величина. (55)

Загальним рiшенням рiвняння (54) буде:

, (56)

де . (57)

Спростимо задачу, думаючи, що висота бар'єру нескiнченно велика. Iз (57) виходить, що при та буде . Для того, щоб залишалася при цьому кiнцевою, необхiдно . З другого боку, щоб була кiнцевою та при , необхiдно також . Таким чином, .

Область 2:

, (58)

де . (59)

Загальним рiшенням рiвняння (58) буде:

. (60)

Скориставшись умовою неперервностi хвильової функцiї для лiвої стiнки потенцiйної ями, де , запишемо:

. (61)

Тоді із (60) одержимо: або .

Пiдставимо це у (60) і знаходимо:

, (62)

де - наслiдок формули Ейлера з теорiї рядiв.

Для правої стiнки потенцiйної ями, де , з умови неперевностi запишемо:

. (63)

Тоді з (62) одержимо:

. (64)

При це можливо лише при

Звiдси знаходимо можливi значення :

(65)

Пiдставляючи у (62), одержимо наступний вираз для хвильової функцiї , яку позначимо через :

. (66)

Постiйна знаходиться iз умови нормування цiєї функцiї.

Енергiю стану, яка описується хвильовою функцiєю (66), одержимо, якщо пiдставимо дисперсійну формулу у (34):

. (67)

Висновки

1. Мiкрочастинка, замкнена у потенцiйнiй ямi, володiє дискретним рядом власних значень енергiї ; цiлі числа , що визначають цi значення , звуться квантовим числом. На рисунку 7 показана схема розташування енергетичних рiвнiв спектру мiкрочастинки.

2. Як видно iз (67), дискретний характер енергетичного спектру мiкрочастинки буде виявлятися тим сильнiше, чим менше область простору , у якiй локалiзована ця частинка. При , що значно перевищує атомнi розмiри, вiдстань мiж енергетичними рiвнями виявляється настiльки незначна, що у багатьох випадках можна рахувати неперервною функцiєю вiд .

Перiодичнi крайовi умови.

При рiшеннi попередньої задачi ми користувалися крайовими умовами (61) та (63), думаючи, що хвильова функцiя на стiнках потенцiйної ями, тобто на межi твердого тiла, дорiвнює нулю. Проте часто зручнiше застосовувати, так званi, перiодичнi крайовi умови, рахуючи, що тверде тiло має необмеженi розмiри, але його характеристики, якi розглядаються як функцiї координат, являються перiодичними з перiодом, рiвним . Iнакше кажучи, нескiнчено велике тверде тiло подумки розбиваємо на кубики з ребром та рахуємо, що закон змiни повторюється у кожному кубику.

Для тiла кiнцевих розмiрiв припускаємо, що у простішому випадку воно також являє собою куб з ребром , у якому має трьохвимiрну перiодичнiсть з перiодом . При цьому нiяких умов, що обмежують положення електрона усерединi тiла, не накладається.

Рис. 7. Енергетичний спектр мiкрочастинки, що рухається у потенцiйній ямі протяжливістю .

Рух мiкрочастинки у необмеженому середивищi описується бiжучими хвилями (26):

. (68)

Iз вимоги перiодичностi хвильової функцiї витiкає, що

. (69)

Пiдставивши сюди (26), одержимо: або . Це рiвняння задовольняє лише при значеннях:

, (70)

де

Підставляючи (70) у (34) знаходимо:

. (71)

Висновки

1. Перiодичнi крайовi умови призводять також до дискретного енергетичного спектру мiкрочастинки.

2. Позитивним значенням вiдповiдає рух мiкрочастинки уздовж осi , негативним - протилежний осi .

3. Значенням , якi вiдрiзняються лише знаком, вiдповiдає однакова енергiя.

Результати, одержанi для одновимiрного руху, можуть бути узагальненi для трьохвимiрного випадку. Хвильова функцiя, що описує рух електрона у трьохвимiрному потенцiйному ящику (у трьохвимiрному твердому тiлi), що має форму куба з ребром , дається рiвнянням:

. (72)

Накладаємо на крайовi периодичнi умови:

, (73)

де

Одержимо:

. (74)

Пiдставляючи (73) у (34), знаходимо:

. (75)