7.2. Проектирование фильтров верхних частот, полосовых и заграждающих

Проектирование ФВЧ, полосовых и заграждающих фильтров производится на основе ФНЧ-прототипа с помощью инверсии нормированной частоты для ФВЧ или сдвига и нормировки частоты для полосовых и заграждающих фильтров. Рассмотрим табл.7.1из которой легко понять методы такого проектирования.

Первая строка этой таблицы иллюстрирует то, что было сказано в разделе 7.1 при проектировании фильтров низких частот. Исходя из технического задания на проектирование, вводится нормированная частота Sравная отношению реальной угловой частотыωк частоте среза фильтраω_СР. Далее проводятся все этапы проектирования: по заданным в ТЗ аппроксимации АЧХ, затуханию в полосе заграждения и неравномерности частотной характеристики в полосе пропускания (аппроксимация Баттерворта или Чебышева) находится порядок фильтраn,его нормированные полюсы и звенья устройства.

Таблица 7.1

Тип фильтра	Преобразование частот	Преобразование комплексной переменной
ФНЧ	S=	P=p/ωСР
ФВЧ		P=ωСР/p
ПФ		P=(p2+ω02)/pΔω
ЗФ		P=pΔω/(p2+ωЗ2)

. Наконец, с помощью третьего столбца и первой строки указывается обратный переход от нормированной частоты SвК(S) к ненормированной комплексной переменнойр, комплексному коэффициенту передачиК(jω) и, следовательно, возможности построения частотной характеристики синтезируемого фильтра.

Р

(7.15)

ассмотрим способ проектирования фильтров верхних частот на основе его ФНЧ- прототипа (третья строка табл.7.1). Пусть, например, имеется нормированное звено первого порядка фильтра низких частот с операторным коэффициентом передачи:

где Р- нормированная комплексная переменная. Введем в рассмотрение инверсную (обратную) нормированную комплексную переменную:

.

Подставляя эту переменную в выражение (7.15), получим:

(7.15^/)

Последнее выражение справедливо для операторного коэффициента передачи звена первого порядка фильтра верхних частот. От нормированной комплексной переменной перейдем к нормированной инверсной частотена основании равенства. Тогда:

(7.16)

Комплексному коэффициенту передачи (7.16) соответствует частотная характеристика звена первого порядка фильтра верхних частот:

(7.16^/)

Таким образом, инверсия:

комплексной переменной Pи соответственно частотыSпереводит фильтр низких частот в фильтр высоких частот и очевидно обратная инверсия переводит ФВЧ в ФНЧ. Полосе нормированных частот 0<S<1 соответствует полоса инверсной частоты: ∞>>1; полосе частот 1<S<∞ полоса:. На частоте срезаS=1 инверсная частота также равна единице. Следовательно, указанные частотные характеристики оказываются зеркально отраженными и симметричными относительно вертикальной линии приS=1-рис.7.4. При инверсии комплексной переменной полюсы операторных коэффициентов передачи (7.15) и (7.15^/) оказываются одинаковыми, однако прив операторном коэффициенте передачипоявляется нуль, т.е. комплексный коэффициент передачиимеет нуль на нулевой частоте=0. Аналогично цепь второго порядка ФНЧ при инверсии комплексной переменнойР переходит в цепь второго порядка ФВЧ с теми же полюсами и двумя нулями на нормированной частоте=0. Следовательно, имея техническое задание на проектирование фильтра высоких частот: частоту срезаω_СР, вид аппроксимации АЧХ, требования к затуханию в полосах заграждения и пропускания- его можно проектировать на основе ФНЧ-прототипа, если после введения нормированной комплексной переменнойР=р/ω_СРпроизвести инверсию частоты согласно третьей строке таблицы 7.1.

.

При этом фильтр верхних частот превращается в ФНЧ , его порядок определяется также, как и при проектировании фильтров нижних частот. После определения структуры ФНЧ прототипа, т.е числа звеньев и их полюсов записывается аналитическое выражение его операторного коэффициента передачи.. Далее переходят к реальным частотам проектируемого ФВЧ путем обратной инверсии согласно второй строке и третьему столбцу таблицы 7.1. При этом в числителе коэффициента передачи проектируемого ФВЧ появляются нули на нулевой частоте: ω=0: звено первого порядка фильтра прототипа порождает один такой нуль, а каждое звено второго порядка прототипа- два нуля.