73

(7.19)

При преобразовании(7.19) звено первого порядка прототипа также превращается в звено второго порядка и одновременно появляются два комплексно-сопряженных нуля на частоте заграждения ω_З. Звено второго порядка прототипа превращается в звено четвертого порядка. Как и в случае синтеза ПФ, звено четвертого порядка может быть представлено в виде двух последовательно включенных звеньев второго порядка. В этом случае образуются также две пары комплексно сопряженных нулей на частоте заграждения. Зная нули и полюсы операторов, можно синтезировать электрические цепи, в которых они реализуются, т.е. создавать устройства фильтров низших частот, ФВЧ, полосовых и заграждающих фильтров.

7.3. Реализация звеньев активных фильтров

Звенья первого порядка ФНЧ и ФВЧ реализуются с помощью пассивных цепей RиСили с использованием ОУ и теми же элементамиRиС, образующими цепь обратной связи.

Схемы простейших RC-цепей первого порядка ФНЧ и ФВЧ приведены на рис.7.5. Операторный коэффициент передачи схемы рисунка 7.5a:

U₂

Вводя нормированную комплексную переменную

,

получим операторный коэффициент передачи цепи:

Рис.7.5

,

что соответствует коэффициенту передачи для звена первого порядка фильтра нижних частот. Поскольку ω_СР=1/RC , то имеется свобода выбора номиналов как резистораR, так и конденсатораС в этой цепи .

Рисунок 7.5.б соответствует реальной дифференцирующей цепи, её оператор:

.

Введя нормированную комплексную переменную

, получим:

, что соответствует коэффициенту передачи для звена первого порядка фильтра верхних частот. Здесь также при заданной частоте среза имеется свобода выбора между номиналами конденсатора или резистора.

Недостатки звеньев рис.7.5 при практической реализации фильтров заключаются в том, что они требуют низкого сопротивления источника сигнала и и высокого в нагрузке, т.е. развязки со стороны входа и выхода. В этом отношении лучше использовать ОУ с элементами RиСв цепи обратной связи, схемы которых описаны в разделе 6.2.3. Реализация цепей второго порядка с комплексно-сопряженными полюсами при отсутствии нулей или же при наличии их обычно производится с применением операционных усилителей с обратными связями. Существует большое число вариантов и разнообразие схем, реализующих цепи второго порядка с элементамиR,Си операционными усилителями. Схемы разделяются на две группы в зависимости от знака обратной связи- положительной или отрицательной. По условию устойчивости устройства с положительной ОС оно не может иметь петлевое усиление большее единицы. Операционный усилитель с элементами обратной связи, удовлетворяющий таким условиям, может быть реализован в виде повторителя напряжения. При невысокой добротности полюсов:, гдеα_Iиβ_I –действительные и мнимые части полюса. Звено с положительной ООС отличается простотой схемы при достаточно высокой стабильности характеристик. При добротностиQ>10 чувствительность устройства с положительной ОС к изменению элементов обратной связи-RиС становится неприемлемо высокой. Лучшие результаты при высокой добротности полюсов получаются при использовании отрицательной обратной связи. Такие звенья имеют малое выходное сопротивление и поэтому допускают каскадное соединение. Рассмотрим общий принцип построения звеньев первого и второго порядков на основе операционного усилителя с отрицательной обратной связью. На рис.7.6 приведена структурная схема устройства пригодная для этих целей, его пассивная часть содержит шестиполюсник, содержащий только элементыRиС. Вывод 2 шестиполюсника соединен со входом ЛИУ, выход которого подключен к выводу 3. Входной сигнал поступает на клемму 1, а выходной - снимается с вывода 3.

Рис.7.5

Для того, чтобы найти передаточную функцию устройства изображенного на рис.7.6, опишем пассивный шестиполюсник с помощью егоY-параметров:

где I₁,I₂,I₃– токи в ветвях 1,2,3, а напряженияU₁,U₂,U₃-на входе, выходе шестиполюсника и выходе устройства.

Если К₀- коэффициент усиления операционного усилителя, топринимая во внимание, что используется инвертирующий вход ОУ. Поскольку входное сопротивление операционного усилителя очень большое, то его входная цепь практически не потребляет ток. Поэтому на основании второго уравнения (7.20) запишем:

Из последнего выражения записываем передаточную функцию устройства изображенного на рис.7.6:

Считая, что К₀>>1, находим окончательно:

Таким образом, передаточная функция устройства рис.7.6- звена активного фильтра, зависит исключительно от свойств пассивной цепи и создание схем звеньев АФ с различными характеристиками сводится к синтезу пассивной RC-цепей. В качестве пассивной цепи рис.7.6 при синтезе АФ часто используется схема, изображенная на рис.7.7 (схема Рауха). На рисунке клеммы 1,2 и3 соответствуют входу, выходу шестиполюсника и выходу устройства рис.7.6. Для схемы рис.7.7 можно определить комплексныеY-параметры с помощью опытов короткого замыкания, выразив их через проводимостиY₁-Y₅.

Так, например, чтобы найти параметр Y₁₁, необходимо произвести короткое замыкание клемм 2 и3cобщим проводом и найти отношение токаI₁к напряжениюU₁. Согласно (7.21) для определения коэффициента передачи устройства рис.7.6 необходимо найти только два комплексныхY- параметра:Y₂₁иY₂₃:

В двух последних выражениях стрелка - означает, что при определении указанных параметров в схеме рис.7.7 производятся режимы короткого замыкания клемм 2,3 и 1,2 с общим проводом соответственно. С помощью таких опытов получено:

где Y₁-Y₅- проводимости элементов схемы Рауха-рис.7.7.

Отсюда коэффициент передачи напряжения устройства будет:

Полюсы функции (7.21^/) определяются из уравнения:

а нули- из уравнения:

В теории электрических цепей доказывается, что полюсылюбой входной или передаточной функции пассивнойRC-цепи могут лежать только в левой полуплоскости комплексной переменной, т.е. имеют отрицательные действительные части. Однако это условие не распространяется нанулисоответствующих функций, которые могут находится или в начале координат комплексной плоскости, или в виде комплексно-сопряженных пар в её левой полуплоскости и даже на мнимой оси. Таким образом, можно с помощью схемы рис.7.6 создавать не только цепи первого порядка, но и колебательные звенья второго порядка- основные элементы фильтров с самыми разнообразными частотными характеристиками. Проиллюстрируем использование приведенных выше выражений для синтеза электрической цепи второго порядка фильтра ФНЧ с передаточной функцией:

где b₀, a₂, a₁,a₀- постоянные коэффициенты.

Обращаясь к формуле (7.21^/) можно заметить, что для этого необходимо, чтобы элементыY₁, Y₃, Y₄в схеме Рауха были резисторами, а элементыY₂, Y₅- конденсаторами. В самом деле, резистивные проводимости элементовY₁, Y₃иY₄дают действительные значения коэффициентова₀иb₀. При этом емкостный характер проводимости у элементовY₂иY₅обеспечивает операторное изображение их произведения в виде:Р² С₂ С₅и также:pС₅(G₁+G₃+G₄). Тогда:

Следовательно,

Полюсы передаточной функцииК(р):

Таким образом, появляется возможность синтезировать звенья второго порядка с установленной конфигурацией полюсов. Существуют и иные способы реализации звеньев второго порядка [4]. Большое число звеньев активных фильтров с пассивными цепями обратной связи приведено в [4] и[5].