Методические указания по выполнению работы № 2

Проверка гипотезы по критерию Пирсона о соответствии экспериментального распределения случайной величины нормальному распределению

Для проверки гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому наиболее часто применяют критерий Пирсона, называемый также критерием ² («хи – квадрат»). Пусть генеральная совокупность имеет функции распределения F(x). Из этой совокупности извлечена выборка объемом n (n50). Разобьем весь диапазон полученных результатов на k частичных интервалов равной длины, и пусть в каждом интервале оказалось m_i измерений (частот), причем:

(1)

Требуется на основе имеющейся информации проверить нулевую гипотезу о том, что гипотетическая функция распределения F(x) значимо представляет данную выборку.

При проверке нулевой гипотезы с помощью критерия согласия придерживаются следующей последовательности:

1) вычисляют вероятности попадания случайной величины X в частичные интервалы [x_i-1,x_i]:

(2)

где i=1…k.

В случае рассмотрения нормального закона распределения:

(3)

где m₀ и  – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение рассматриваемой случайной величины, соответственно. Вычисление значений функции распределения можно проводить, пользуясь нормированной функцией Лапласа:

(4)

где нормированная переменная z равна:

(5)

Значения функции Лапласа представлены в табл. 1.

2) Умножая полученные вероятности на объем выборки n, получают теоретические частоты np_i частичных интервалов, т.е. частоты, которые следует ожидать, если нулевая гипотеза справедлива.

3) Вычисляют выборочную статистику (критерий ²):

(6)

Если нулевая гипотеза верна, то при n закон распределения выборочной статистики независимо от вида функции F(x) стремится к распределению ² c  = k – f – 1 степенями свободы. Здесь f – число параметров гипотетической функции F(x), оцениваемых по данным выборки (для нормального распределения f=2).

Критерий ² сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия ², тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Для проверки гипотезы по таблицам ² распределения по заданному уровню значимости q и числу степеней свободы  находится критическое значение ²_кр, удовлетворяющее условию P(²²_кр) = q.

Если ²_набл < ²_кр, то считается, что нет оснований для отклонений нулевой гипотезы, таким образом гипотетическая функция F(x) согласуется с опытными данными.

EXCEL: Вероятности попадания в частичные интервалы p_i рассчитываются как разности p_i= F_i+1–F_i где F_i – нормальное интегральное распределение, для нахождения которого можно воспользоваться функцией НОРМСТРАСП(…). Значения этого распределения находятся в зависимости от нормированных значений границ частичных интервалов z_i =(x_i-m₀)/σ , где m₀ , σ – матожидание и среднее квадратическое отклонение теоретического распределения, в качестве которых берутся среднее значение и выборочное среднее квадратическое отклонение экспериментальной выборки (объемом n). Пример вычисления слагаемых критерия χ² (последний столбец): χ_i =(L45-P45)^2/P4.

Сравнить полученное значение критерия с критическим значением критерия χ²_кр, для нахождения которого можно воспользоваться функцией ХИ2ОБР( …;…).

i	Xi	mi	Zi	Fi	pi	n pi	χi2
1	502,8		-2,30211	0,010664	0,049139	4,913866	0,885648
2	504,1857	7	-1,55643	0,059803	0,148953	14,89532	0,000736
3	505,5714	15	-0,81074	0,208756	0,265307	26,5307	0,008301
4	506,9571	27	-0,06506	0,474063	0,277882	27,78824	0,001614
5	508,3428	28	0,680625	0,751946	0,171165	17,11649	0,000793
6	509,7285	17	1,42631	0,923111	0,061961	6,196144	1,64866
7	511,1142	3	2,171994	0,985072	0,013165	1,31648	2,15289
8	512,4999	3	2,917679	0,998237
						χ2=	4,698642