Вопрос 1. Использование деревьев в задачах поиска: бинарные деревья поиска, случайные, оптимальные, сбалансированные по высоте и рандомизированные деревья поиска

Поиск по дереву. Методы использования бинарного дерева для хранения файла делает сортировку этого файла более эффективной. В этом методе все левосторонние потомки некоторого узла с ключом key, имеют меньшее значение ключа, а правосторонние - большее или равно ключу key. Такое дерево называется деревом поиска. Прохождение такого дерева в симметричном порядке дает файл упорядоченный по возрастающему значению ключа. Такое дерево может также использоваться для бинарного поиска. Рассматривая средний элемент массива как корень некоторого дерева и рассматривая рекурсивно оставшиеся элементы как левые и правые поддеревья, мы получим некоторое относительно сбалансированное дерево бинарного поиска Рассматривая первый элемент массива в качестве корня дерева, а каждый последующий элемент как правого сына его предшественника, получаем сильно разбалансированное дерево Сбалансированное дерево – то, у которого все ветви имеют одинаковую или почти одинаковую высоту. Идеально сбалансированные деревья – высота левого поддерева отличается от высоты правого не более чем на 1.

Если не принимать во внимание потенциальное желание поддерживать идеальную балансировку дерева, то процедуры включения и исключения ключей очень просты. При выполнении исключения ключа из дерева также прежде всего выполняется поиск ключа. Поддержка дерева поиска в идеально сбалансированном состоянии требует существенного усложнения (с соответствующим увеличением накладных расходов) операций включения и исключения ключей. На практике идеально сбалансированные деревья поиска используются крайне редко.

Идеально сбалансированные деревья представляют, в большей степени, чисто теоретический интерес, поскольку поддержание идеальной сбалансированности требует слишком больших накладных расходов. В 1962 г. советские математики Адельсон-Вельский и Ландис предложили менее строгое определение сбалансированности деревьев, которое в достаточной степени обеспечивает возможности использования сбалансированных деревьев при существенно меньших расходах на поддержание сбалансированности. Такие деревья принято называть АВЛ-деревьями (в соответствии с именами их первооткрывателей).

По определению, двоичное дерево называется сбалансированным (или АВЛ) деревом в том и только в том случае, когда высоты двух поддеревьев каждой из вершин дерева отличаются не более, чем на единицу. При использовании деревьев, соответствующих этому определению, обеспечивается простая процедура балансировки при том, что средняя длина поиска составляет O(log n), т.е. практически не отличается от длины поиска в идеально сбалансированных деревьях Известно, что оценкой стоимости поиска в АВЛ-дереве, а также выполнения операций включения и исключения ключей является O(log n), т.е. эти деревья при поиске ведут себя почти так же хорошо, как и идеально сбалансированные деревья, а поддержка балансировки при включениях и исключениях обходится гораздо дешевле.

Деревья оптимального поиска Пусть дерево поиска содержит n вершин, и обозначим через pi вероятность обращения к i-той вершине, содержащей ключ ki. Сумма всех pi, естественно, равна 1. Постараемся теперь организовать дерево поиска таким образом, чтобы обеспечить минимальность общего числа шагов поиска, подсчитанного для достаточно большого количества обращений. Требуется построить дерево поиска с минимальной взвешенной длиной пути.

При построении дерева оптимального поиска вместо значений pi и qj обычно используют полученные статистически значения числа обращений к соответствующим вершинам. Процедура построения дерева оптимального поиска достаточно сложна и опирается на тот факт, что любое поддерево дерева оптимального поиска также обладает свойством оптимальности. Поэтому известный алгоритм строит дерево "снизу-вверх", т.е. от листьев к корню. Сложность этого алгоритма и расходы по памяти составляют O(n2). Имеется эвристический алгоритм, дающий дерево, близкое к оптимальному, со сложностью O(n*log n) и расходами памяти - O(n).