Вопрос 2. Понятие выполнения сети. Свойства сети (устойчивость, безопасность, консервативность).

Выполнение сети:

Рис. 3. Графическое представление сети Петри

Маркировка  есть присвоение фишек позициям сети Петри. Фишки используются для определения выполнения сети Петри. Маркировка  сети Петри C=(P, T, I, O) есть функция, отображающая множество позиций Р в множество неотрицательных целых чисел N. Маркировка  может быть определена как вектор, определяющий для каждой позиции p_i сети Петри количество фишек.

Маркированная сеть Петри есть совокупность структуры сети Петри и маркировки и может быть записана как M= (P, T, I, O, ). На рисунке выше изображена маркированная сеть Петри с маркировкой (1, 0, 0, 2, 1). Выполнением сети Петри управляют количество и распределение фишек в сети. Сеть Петри выполняется посредством запуска переходов. Переход может запускаться только в том случае, когда он разрешен.

Основные свойства сетей Петри и их анализ. Сеть служит для описания моделей динамической логики.

С еть N – тройка (P, T, F) = N, где P – не пустое множество элементов сети, называемых местами; T – не пустое множество элементов сети, называемых переходами. F  PT TP – отношение инцидентности.

Графическим представлением сети служит ориентированный граф, в котором:

О - места, | - переходы (барьеры), дуга – отношение инцидентности.

Сеть Петри – пятерка N = (P, T, F, W, M₀), где P, T, F – конечная сеть; W – множество не равное 0, которое имеет условие W : F  N \ {0}; M₀ – начальная разметка сети, которая сопоставляет каждому месту в сети число M₀(P)  N, которое называется начальной емкостью места. Для того, чтобы сеть была динамической вводятся условия, изменяющие начальную разметку сети. Эти условия определяются термином, который называется срабатывание переходов.

Свойства сети:

1. Ограничение и емкость

Место p в сети Петри N = (P, T, F, W, M) называется ограниченным, если существует число n такое, что каждой достижимой в сети разметке M справедливо неравенство M(p)  n и соответственно сеть N называется ограниченной, если каждой ее место ограничено. Следовательно, множество разметок R(N) конечно, если сеть N ограничена. Место сети P называется безопасным, если квантор _M  R(N) : M(P)  1. Если все места в сети безопасны, то и сеть называется безопасной. Каждая достижимая в безопасной сети разметка представляет собой вектор, состоящий из 0 и 1. Ограниченность и безопасность характеризуют емкость условий, в которых существует моделируемая данной сетью дискретная система.

Консервативная сеть – сеть, в которой сумма фишек в отдельных местах сети остается постоянной при работе сети: _M1,M2  R(N) : M1(p) = M2(p) pP pP

В консервативной сети каждый переход консервативен, т.е. он не меняет при срабатывании количества фишек в сети *t = t*. В сети переходы можно исключить, если условие его срабатывания никогда не выполняется.

Тупиковая ситуация – ситуация, при которой переходы при соответствующих изменениях разметки уже никогда не сработают, какие бы варианты достижимых разметок не возникали.

Переход в сети Петри называется потенциально-живым при разметке M  R(N), если _M'  R(N) : M'(p)  *F(t).

Если M = M₀, то переход называется потенциально-живым в сети N. Переход t называется мертвым при M, если он не является потенциально-живым при M. Переход t называется живым, если _M  R(N), _M'  R(N, M) : M  *F(t). Эта запись говорит о том, что все переходы в сети являются потенциально-живыми при каждой достижимой в сети разметке.

Переход t называется мертвым при каждой достижимой разметке, если он мертв (т.е. никогда не срабатывает).

Переход t называется потенциально-мертвым, если существует такая разметка M  R(N), что при каждой разметке M’  R(N, M) переход никогда не сработает. Разметка M в этом случае называется тупиковой для данного перехода t; если же эта разметка тупиковая для всех переходов, то она называется тупиковой для сети.

Сеть называется живой, если все ее переходы живы. Устойчивый переход Если переход t может сработать, то никакой другой переход t’ сработав, не может лишить его этой возможности. Если все переходы сети устойчивы, то сеть называется устойчивой.

Анализ сетей Петри сводится к определению ограниченности, устойчивости живости данной сети.

Рассмотрим проблему ограниченности и безопасности сетей Петри: каким бы большим не было N, разметка места P может неограниченно расти.