2.1.10 Задачи на относительный экстремум. Правило множителей Лагранжа

Постановка задачи на относительный экстремум

Пусть и заданы функции , где . Рассмотрим задачу нахождения экстремальных значений функции при условии, что , то есть мы учитываем только точки, которые принадлежат множеству .

Теорема (правило множителей Лагранжа). Пусть в условиях, приведенных выше, функция достигает своего экстремума при условии, что . тогда существует ненулевой вектор такой, что функция

,

называемая функцией Лагранжа, в точке x имеет градиент, равный нулю:

.

Теорема. Достаточное условие относительного локального экстремума. Пусть является критической точкой для функции Лагранжа в задаче на относительный экстремум, то есть и Рассмотрим – множество приращений, которые удовлетворяют уравнениям

.

Если второй дифференциал функции Лагранжа является положительно (отрицательно) определимым на множестве , то точка является точкой локального минимума (максимума) в задаче на относительный экстремум.

Пример 2.1.10.1. Найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением .

Решение.

Рассмотрим функцию Лагранжа . Имеем , . Из системы уравнений (необходимые условия экстремума)

Находим , , . Нетрудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .

Пример 2.1.10.2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в круге .

Решение.

Здесь рассматривается область , ограниченная окружностью , включая и точки окружности.

Найдем стационарные точки данной функции; имеем , ; в силу необходимых условий экстремума находим , .

Нетрудно видеть, что в точке функция имеет наименьшее значение , причем указанная точка является внутренней точкой области  .

Исследуем на условный экстремум функцию , если и связаны соотношением . Рассмотрим функцию . Находим частные производные , . Для определения , и получаем систему уравнений

Эта система имеет два решения: , и ; , и . Значит, наибольшее значение функция принимает в точке . Итак, , .

2.1.11 Теорема о замене переменных в кратных интегралах. Полярные, цилиндрические и сферические системы координат. Геометрический смысл Якобиана

Замена переменных в кратных интегралах

Пусть – области в пространстве , – гладкое отображение. Через и будем обозначать точки в и соответственно. Возможна другая (покоординатная) запись.

,

,

…

,

, где – дифференцируемы.

Рассмотрим Якобиан отображения , определяемый по формуле

.

Его можно представить как коэффициент искажения объема.

Теорема (о замене переменных). Пусть , – измеримые множества. – взаимно однозначно на внутренних точках множества . Функции непрерывно дифференцируемы, а функция интегрируема. Тогда существует следующий интеграл и выполняется равенство

.

Полярные координаты

Введем на плоскости полярную систему координат, согласованную с заданной декартовой ( – полярная ось, – расстояние от точки до полюса , – угол между радиусом-вектором точки и полярной осью).

Данная система уравнений осуществляет преобразование полярных координат в декартовы. Правые части – непрерывно дифференцируемые функции с якобианом

.

Если ; , то .

Сферические координаты

Пусть заданы полярные координаты в плоскости , – угол между радиусом-вектором точки и плоскостью .

Если , то

.

Цилиндрические координаты

В плоскости вводим полярные координаты . Тогда координаты называются цилиндрическими.

Эти равенства связывают цилиндрические координаты с декартовыми координатами. Здесь – расстояние от проекции точки на плоскость до начала координат декартовой системы, а – угол между радиусом-вектором указанной проекции и осью . Якобиан преобразования легко вычисляется.

.

Если ; то

.

Пример 2.1.11.1. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если – I четверть круга .

Решение.

Полагая , имеем

.

П ример 2.1.11.2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: , .

Решение.

Данное тело ограничено снизу параболоидом , сверху плоскостью и проецируется в круг плоскости . Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет вид . Объем тела равен

.

Пример 2.1.11.3. Вычислить , если – шар .

Решение.

Перейдем к сферическим координатам. В области координаты , и изменяются так: , , . Следовательно,

.