Теорема умножения вероятностей

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или нет событие В.

Пример:

В урне 2 белых и 3 чёрных шара. 2 человека вынимают из урны по одному шару. Событие А – появление белого шара у первого человека, событие В – появление белого шара у второго человека.

Р(А) = 2/5, Р(В) = ¼;

Р(В/А)=1/4 – вероятность события В с условием А;

(В/А)=2/4.

Определение. Вероятность события А, вычисляемая при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В) или Р_В(А).

Если события А и В независимые, то Р(А/В) = Р(А).

Теорема: вероятность произведённых двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое произошло.

(А/В) = Р(А)· Р(В/А).

Формула полной вероятности (следствие теоремы сложения и умножения).

Рассмотрим некоторую совокупность событий H₁,H₂,…,H_n, обладающую следующими свойствами:

1. Н₁+Н₂+…+Н_{n =} Ω - полная группа;

2. Н_i·Н_k ≠ Ø, i≠k – попарно несовместны;

Эти события будем называть гипотезами. Вычислим вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н₁,Н₂,…,Н_n.

А = Н₁·А+Н₂·А +…+Н_n·А,

Т. к. гипотезы несовместны, то их комбинации Н₁·А, Н₂·А, … ,Н_n·А тоже несовместны. Тогда можно применить теорему сложения вероятностей.

По теореме умножения вероятностей это равно:

– формула полной вероятности.

Пример:

В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через   обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Задание: 1) Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

2) Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

3) Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?