Классическое определение вероятности

Пусть какое-то событие А может появиться или не появиться при n элементарных исходах опыта, причём все исходы, причём все исходы опыта равновозможные, попарно несовместны и образуют полную группу событий.

m – число исходов, благоприятствующих событию А. Тогда вероятностью события А Р(А) будет отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу исходов n.

Р(Ω) = 1

Р(Ø) = 0

Действия над событиями:

1. Суммой событий А и В называют событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из этих событий (А или В).

Пример:

А – попадание в цель при первом выстреле.

В - попадание в цель при втором выстреле.

При произведённых двух выстрелах А+В – попадание в цель.

2. Разностью событий А и В называют событие, состоящее в осуществлении события А и неосуществлении события В.

3. Произведением событий А и В называется событие, состоящее в одновременном осуществлении событий этих событий.

4. Отрицание А ( ) – событие, состоящее в неосуществлении событий А.

Пример:

При бросании игральной кости событие А означает выпадение четного числа очков, событие B означает выпадение не менее 3 очков (т. е. 3, 4, 5 или 6) и событие С означает выпадение одного очка. Тогда:   A + B = (A или B)  - появление числа очков, большего или равного двум.    + В + С - достоверное событие.    B = (A и B) означает выпадение «четверки» или «шестерки».   ABC - невозможное событие, невозможными являются также AC и BC.     состоит в выпадении нечетного числа очков.    состоит в появлении не более двух очков.     состоит в появлении любого числа очков, кроме одного очка.   A - B = A состоит в выпадении «двойки».   B - A = B  состоит в выпадении «тройки» или «пятерки» и т. д.

§2. Элементы комбинаторики

Определение. Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположение их в группы по заданным правилам.

Основное правило комбинаторики:

Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Первое действие можно выполнить n₁ способами, второе – n₂ способами, … , n_k – k способами. Тогда все k действий вместе могут быть выполнены n₁ · n₂ · … · n_k способами.

Пример:

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5?

1. Если цифры не повторяются 5·4·3 = 60

2. Если цифры повторяются 5·5·5 = 125.

Правило суммы:

Если некоторый объект Х можно выбрать n₁ способами, Y – n₂ способами, причём 1-й и 2-й способы не пересекаются, то любой из указанных объектов можно выбрать n₁+n₂ способами.

Пример:

В группе 5 девочек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать двух студентов одного пола?

1. Двух девочек: 5·4 = 20

2. Двух мальчиков 5·6 = 30.

Следовательно, всего двух студентов одного пола можно выбрать (20+30) - 50 способами.

Схема выбора без возвращений

Определение. Размещение из n элементов по m – любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов. А_n^m (“из n по m”).

Размещение – выборки, отличающиеся друг о друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

А_n^m

Пример:

Сколько можно составить сигналов из 6 различных флажков различного цвета по 2.

А₆² = = 5·6 = 30.

Определение. Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n (P = n!).

Перестановки – выборки из n элементов, отличающиеся друг от друга порядком следования.

Пример:

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые начинаются цифрой 3? Поставим цифру 3 на первое место и зафиксируем ее. А остальные четыре цифры будем переставлять для получения различных чисел. Таким образом, количество чисел будет определяться количеством перестановок среди чисел 1, 2, 4, 5. Чтобы его найти, воспользуемся формулой N = n! , где N – количество вариантов перестановок, n – количество цифр.

N = 4! = 24. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить 24 пятизначных числа без повторения цифр, которые начинаются цифрой 3.

Определение. Сочетанием из n элементов по m (0 < m ≤ n) называется любое подмножество, содержащее m элементов данного множества; сочетание – выборки, каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементов (только составом).

Формула для сочетаний: С_n^m

Пример:

Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из группы в 20 человек? Так как для данной задачи несущественен порядок выбора, то воспользуемся формулой комбинаторики для сочетания из 20 по 3:

Трех дежурных из группы в 20 человек можно выбрать 1140 способами.

Схема выбора с возвращениями

Если при выборке из n элементов по m элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то имеет место размещение с повторениями. Выборки отличаются друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений.

А_n^m = n^m

Пример:

Из элементов а, b, с составить все размещения по 2 элемента с повторениями.

Решение: (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (b,c), (c,b),(c,a),(b,a)

₃² = 3³ = 9.

Если при выборке m из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, то имеет место сочетание с повторениями.

_n^m = C_n+m-1^m

Пример:

Сколькими способами можно составить 5 букетов из трёх цветов?

₅³ = C₇⁵ = = 21

Пусть в множестве с n элементами k различных; при этом первый элемент повторяется n₁ раз, второй – n₂ раз, … , k-й – n_k раз. Причем, n₁+n₂+…+n_k = n.

Определение. Перестановки из n элементов данного множества называются перестановками с повторениями.

Р(n₁,n₂,…,n_k) =

Пример:

Сколько различных пятизначных цифр можно составить из цифр 3,3,5,5,8?

P₅(2,2,1) = = 30, где первое 2 – число вхождений тройки, второе 2 - число вхождений пятёрки и 1 – число вхождений восьмёрки.

Задание: 1) Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут пять треф, включая туза.

2) У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?