8.6. Затухающие колебания

Затуханием колебаний называется постепенное их ослабление с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Механические колебания затухают главным образом из-за трения.

В вязкой среде на колеблющуюся механическую систему кроме квазиупругой силы действует еще сила сопротивления, которая при малых скоростях пропорциональна скорости ( – коэффициент сопротивления).

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид:

или или , (1.8.16)

где – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы (при ), – коэффициент затухания.

Рис.5.6

В случае малых затуханий ( ) решением этого уравнения является функция , график которой приведен на рис.5.6 сплошной линией. Амплитуда колебаний (показана пунктиром) уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Промежуток времени , в течение которого амплитуда

уменьшается в раз, называется временем релаксации.

Период затухающих колебаний равен , (1.8.17)

где – частота затухающих колебаний.

Показателем степени затухания колебаний является декремент затухания. Он равен отношению амплитуд, соответствующих моментам времени и , т.е.

(1.8.18)

Натуральный логарифм данного выражения называется логарифмическим декрементом затухания : , (1.8.19)

где – число колебаний, совершенных за время уменьшения амплитуды в раз.

8.7. Вынужденные колебания

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии при помощи какого-либо периодически действующего фактора, изменяющегося по гармоническому закону . При механических колебаниях таким фактором является вынуждающая сила .

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы имеет вид:

или , (1.8.20)

где – циклическая частота свободных незатухающих колебаний;

– коэффициент затухания; .

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Можно показать, что частное решение имеет вид , где и задаются формулами

и . (1.8.21)

Амплитуда вынужденных колебаний максимальна при частоте , которая

Рис.5.7

называется резонансной частотой . Если , то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению , называемому статическим отклонением. Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Если , т. е. затухания колебаний нет, то , и амплитуда при этом становится бесконечно большой. Поскольку в реальных системах , амплитуда достигает своего максимального значения и остается конечной. Приведенная на рис. 5.7 совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Лекция 3.