8.3. Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой

, (1.8.5)

пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению, т. е. к положению равновесия. Она называется квазиупругой силой, которая является консервативной. Поэтому при гармонических колебаниях нет перехода энергии механического движения в другие виды энергии – кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно. Полная энергия системы остается постоянной.

Кинетическая, потенциальная и полная энергии материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равны

; (1.8.6)

; (1.8.7)

. (1.8.8)

Рис.5.2

8.4. Гармонический осциллятор Гармоническим осциллятором называется система, закон движения которой описывается уравнением вида (1.8.4). Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники. Пружинный маятник (рис.5.2) - груз массой , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания под действием квазиупругой силы: ( - жесткость пружины).

Закон движения маятника имеет вид:

или . (1.8.9)

Сравнивая это уравнение с законом движения гармонического осциллятора (1.8.4), можно сделать вывод, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой и периодом равными

и . (1.8.10)

Рис.5.3

Физический маятник (рис.5.3) - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси 0, не проходящей через его центр масс . При отклонении маятника на угол от положения равновесия составляющая силы тяжести создает момент возвращающей силы, который при малых углах отклонения равен (1.8.11)

где - длина физического маятника.

Подставив выражение (1.5.11) в основной закон динамики вращательного движения , получим: или (1.8.12)

где – момент инерции маятника относительно оси вращения.

Это уравнение по виду совпадает с законом движения гармонического осциллятора. Следовательно, физический маятник совершает гармонические колебания с параметрами:

; , (1.8.13)

где длина называется приведенной длиной физического маятника (1.8.14)

Р ис.5.4

Математический маятник (рис.5.4) - материальная точка массой , подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной и колеблющаяся под действием силы тяжести без трения. Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника. Поэтому если в формулу (1.8.13) подставить момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку ( ), то получим формулу для периода колебаний математического маятника (1.8.15)

Из сопоставления формул (1.8.13) и (1.8.15) получается, что данный физический маятник будет иметь такой же период, что и математический маятник длиной . Поэтому приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятник, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Рис.5.5

8.5. Представление гармонических колебаний с помощью вращающегося вектора амплитуды

Гармонические колебания, описываемые уравнением , можно представить с помощью вращающегося вектора амплитуды. Из точки 0, взятой на оси , под углом , равным начальной фазе колебания, отложим вектор длиной , равной амплитуде колебания (рис.5.5). Если привести этот вектор во вращение против движения часовой стрелки с угловой скоростью , то проекция его конца будет перемещаться по оси в пределах от до , причем координата проекции будет со временем изменяться по закону гармонического колебания. Схема, полученная таким способом, называется векторной диаграммой. Она широко используется при сложении колебаний, когда система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах.