6. Элементы механики сплошных сред

Рассмотрим движение идеальной жидкости - сплошной среды, сжимаемостью и вязкостью которой можно пренебречь. Выделим в ней некоторый объем, в нескольких точках которого определены векторы скорости движения частиц жидкости в момент времени . Если картина векторного поля со временем остается неизменной, то такое движение жидкости называется установившимся. При этом траектории частиц представляют собой непрерывные и не пересекающиеся линии. Их называют линиями тока, а объем жидкости, ограниченный линиями тока, трубкой тока (рис.5.1).

Поскольку частицы жидкости не пересекают поверхность такой трубки, ее можно рассматривать как реальную трубку с неподвижными для жидкости стенками. Выделим в трубке тока произвольные сечения и перпендикулярные направлению скорости частиц в сечениях и , соответственно (рис.5.1).

З а малый промежуток времени через эти сечения протекают объемы жидкости

. (1.6.1)

Так жидкость несжимаема и . И тогда для любого сечения трубки тока имеет место равенство

Рис.5.1

. (1.6.2)

Оно называется уравнением неразрывности струи. В соответствии с (1.6.2) там, где сечение меньше, скорость течения жидкости больше и наоборот.

Уравнение Бернулли

Пусть рассматриваемые сечения трубки тока идеальной жидкости малы, так что можно считать величины скорости и давления в них постоянными, т.е. и , в сечении и , в .

При движении жидкости за малый промежуток времени сечение , переместится в положение пройдя путь , а сечение - в положение , пройдя . Объем жидкости, заключенный между сечениями и вследствие уравнения неразрывности будет р авен объем жидкости, заключенному в промежутке между и . Трубка имеет некоторый наклон и центры ее сечений и находятся на высотах и над заданным

Рис. 5.2 горизонтальным уровнем (рис.5.2).

Учитывая что и , изменение полной энергии выделенной массы жидкости, расположенной в начальный момент между сечениями и , может быть представлено в виде

. (1.6.3)

Это изменение, согласно закону сохранения энергии, обусловлено работой внешних сил. В данном случае это силы давления и , действующие, соответственно, на сечения и , где и соответствующие давления. Для любого сечения трубки тока

, (1.6.4)

где - плотность жидкости Равенство (1.6.4) выражает основной закон гидродинамики, которое называется также уравнением Бернулли по имени ученого, получившего его впервые.

Давление в потоке жидкости

Следует отметить, что в выражении (1.6.4) все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: - динамическим, - гидростатическим или весовым, - статическим давлением, а их сумма полным давлением. С учетом этого соотношение (1.6.4) можно выразить словами: в стационарном течении идеальной жидкости полное давление в любом сечении трубки тока (в пределе- линии тока) - величина постоянная, а скорость потока

. (1.6.5)

Истечение жидкости из отверстия

Пусть отверстие находящееся вблизи дна сосуда заполненного жидкостью, открыто (рис. 5.3). Выделим трубку тока с сечениями - на уровне открытой поверхности жидкости в сосуде; - на уровне отверстия - . Для них уравнение Бернулли имеет вид

. (1.6.6)

З десь , где - атмосферное давление. Поэтому из (1.6.6) имеем

(1.6.7)

Если , то и членом можно пренебречь. Тогда из (1.6.7) получим

.

Следовательно, скорость истечения жидкости будет равна:

, (1.6.8)

Рис. 5.4

где . Формула (1.6.8) получена впервые Торричелли и носит его имя. За малый промежуток времени из сосуда вытекает объем жидкости . Соответствующая ему масса , где - плотность жидкости. Она имеет импульс . Следовательно, сосуд сообщает этот импульс вытекающей массе , т.е. действует силой

.

По третьему закону Ньютона на сосуд будет при этом действовать сила , т.е.

. (1.6.9)

Здесь - сила реакции текущей жидкости. Если сосуд находится на тележке, то он под действием силы придет в движение, которое называется реактивным движением.