1.3. Передаточная функция и основные характеристики фильтров

Обычно фильтр анализируется как конечная линейная электронная схема с сосредоточенными параметрами. Если фильтр построен на активных элементах (операционные усилители), то, поскольку такая схема фильтра явно будет нелинейной, на первом этапе анализа она линеаризуется и далее рассматривается как линейная. Поведение такого фильтра (рис.1.5)

Рис.1.5

определяется передаточной функцией , равной отношению операторного изображения выходной величины U₂(p) к операторному изображению входной величины U₁(p) то есть определяется отношением двух полиномов от комплексной переменной «р» [1]:

H(p) = (1.1)

где: p = jω ─ комплексная частотная переменная; ω ─ угловая частота, рад/с;

a_i, i = 0, …, n; b_i, i = 0, …, m ─ вещественные коэффициенты.

Подставив в формулу (1.1) значение комплексной частоты, получим комплексную передаточную функцию, которая определяет реакцию фильтра на синусоидальный сигнал.

Модуль комплексной передаточной функции |H(jω)|=H(ω)─ амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), а её аргумент arg (H(jω))= (ω) ─ фазочастотная характеристика (ФЧХ). Расчет выражений для АЧХ (модуля передаточной функции) и ФЧХ (аргумента передаточной функции) производится в обычном порядке, как расчет модуля и аргумента комплексного числа.

Числитель и знаменатель H(p) формулы (1.1) можно записать в виде произведения сомножителей первого порядка:

H(p) = ,

где - корни полинома числителя (их принято называть нулями передаточной функции);

- корни полинома знаменателя (их принято называть полюсами передаточной функции).

График АЧХ передаточной функции изображают как в линейном, так и в логарифмическом масштабах. На оси ординат графика , построенного в

линейном масштабе указывают модуль |H(j |. На оси ординат графика АЧХ,

построенного в логарифмическом масштабе, принято откладывать значение 20lg|H(j |. Эта величина оценивается в децибелах.

Фазовый сдвиг на фазочастотных характеристиках откладывают в линейном масштабе.

Обе зависимости, построенные в широком диапазоне частот, определяют характер преобразования сигналов и тип фильтра: фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ), заграждающий фильтр (ЗФ) и другие типы фильтров с более сложным видом частотных характеристик.

Для рассматриваемого в курсовой работе электрического фильтра передаточная функция имеет вид:

,

где -передаточная функция фильтра;

-передаточная функция по напряжению первого звена фильтра;

-передаточная функция по напряжению второго звена фильтра.

Расчет передаточных функций электрического фильтра и составляющих его звеньев производится, как было отмечено выше, путем формирования и решения узловых уравнений в операторной форме. Формирование уравнений электрической цепи с идеальными усилителями [2] имеет следующие особенности:

- при формировании уравнения для входного узла влияние усилителя не учитывается, так как ток во входной ветви идеального усилителя равен нулю;

- для выходного узла узловое уравнение не может быть составлено, так как при нулевом выходном сопротивлении идеального усилителя его выходная проводимость равна бесконечности;

- систему узловых уравнений необходимо дополнить уравнением связи входного и выходного напряжений усилителя в результате получим систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных.

Напряжение на входе и выходе усилителя с конечным коэффициентом усиления связаны уравнением:

,

где -операторное напряжение на входе ;

-операторное напряжение на выходе;

-коэффициент усиления.

Если коэффициент усиления задан равным бесконечности, то при конечной величине напряжения систему узловых уравнений необходимо дополнить уравнением:

=

При анализе цепей с дифференциальным операционным усилителем с бесконечным коэффициентом усиления система узловых уравнений должна быть дополнена уравнением:

= , где

- операторное напряжение на неинвертирующем входе усилителя;

-операторное напряжение на инвертирующем входе усилителя.

Составим узловые уравнения для электрической цепи, приведённой на рис. 1.5. и являющейся типовой схемой одного из звеньев каскадной реализации активного фильтра Для расчета передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (4):

Узловое уравнение для выходного узла не составляют. Вместо этого рекомендуется использовать уравнение:

С учётом найденных коэффициентов, уравнения примут вид:

.

В результате решения уравнений найдем передаточную функцию звена:

Преобразуем выражение для передаточной функции. С этой целью разделим числитель и знаменатель на коэффициент при операторе :

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго порядка, формально совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.

,

где и - резонансная частота и добротность контура соответственно.

Аналогичные коэффициенты знаменателя передаточной функции звена называются добротностью и частотой полюса :

Подставив в выражение для H(p) значение комплексной частоты , получим комплексную передаточную функцию:

После чего определяют выражения и строят графики частотных характеристик модуля (АЧХ) и аргумента (ФЧХ) передаточной функции (смотри приложение).

Другой важной характеристикой активных цепей является переходная характеристика. Дело в том, что описание связи входного и выходного сигналов в виде операторной передаточной функции H(p) не содержит в явном виде информацию о скорости протекания переходного процесса; получить её можно при изучении реакции на типовое воздействие - входной сигнал стандартного типа. В качестве такого сигнала можно использовать единичную ступенчатую функцию δ₁(t). Реакция цепи при нулевых начальных условиях на единичную функцию δ₁(t) называется переходной характеристикой цепи h₁(t).

Переходную характеристику активной цепи можно найти операторным методом. При δ₁(t) = 1 получим δ₁(p) = 1/р, тогда изображение выходной величины h₁(p) = (1/р)H(p). Следовательно h₁(t) – это оригинал последней функции, значение которого находится с помощью обратного преобразования Лапласа или формул перехода от функции операторной h₁(p) к функции действительной h₁(t).

По графику рис. 1.6 переходной характеристикой h₁(t) можно оценить не только скорость переходного процесса, но и величину допустимого ступенчатого воздействия на входе цепи по заданному ограничению напряжения на входе.

Рис. 1.6

Допустимая величина ступенчатого воздействия равна

, где

- заданное ограничение по напряжению на входе второго звена.