6. Исследование устойчивости электрического фильтра.

В данной работе анализ устойчивости производится для фильтра и дополнительно для первого звена.

Устойчивость фильтра исследуется по расположению корней характеристического полинома или полюсов передаточной функции цепи на комплексной плоскости. Устойчивость режима работы первого звена следует определить с применением частотного критерия Найквиста.

Рассмотрим оба подхода к определению устойчивости рассматриваемой электрической цепи.

Рис. 5.9.

6.1.Определение устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции.

Для определения полюсов передаточной функции необходимо характеристический полином передаточной функции каждого звена фильтра

приравнять к нулю и найти их корни.

Знаменатель передаточной функции первого звена фильтра (2.13) приравняем к нулю и решим полученное уравнение.

(6.1)

Знаменатель передаточной функции второго звена фильтра (2.25) приравняем к нулю и решим полученное уравнение.

(6.2)

Все полюса расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости. Следовательно, данная электрическая цепь устойчива. Расположение корней характеристического полинома на комплексной плоскости представлено на рис. 6.1.

Рис.6.1.

6.2. Критерий устойчивости Найквиста.

Найдём выражение для передаточной функции по петле обратной связи первого звена фильтра.

Для определения передаточной функции разорвем цепь обратной связи на входе усилителя и замкнем входные полюса первого звена фильтра. В результате получим схему, приведенную на рис.6.2.

Рис. 6.2.

Представим операционные усилители в виде управляемых источников напряжения и укажем положительное направление узловых напряжений. В результате получим расчётную схему, изображенную на рис. 6.3.

Рис.6.3.

6.2.1.Узловые уравнения схемы в общем виде.

Выберем узел №6 в качестве опорного узла. Тогда В. Составим в комплексной форме узловые уравнения для узлов 1 и 4:

Узел №1:

(6.3)

Узел №4:

_(6.4)

Для данной схемы нужно составить два уравнения связи:

(6.5)

(6.6)

6.2.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений(6.3) и (6.4):

, , , , ,

, , , , .

6.2.3.Расчёт правой части уравнений:

, .

6.2.4.Уравнения (6.3) – (6.6) с учетом найденных коэффициентов:

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

6.2.5.Решение уравнений (6.7)-(6.10).

Из уравнения (6.7) выразим и сразу подставим (6.10):

, (6.11)

Из уравнения (6.8) выразим . С учетом (6.9) получим:

, (6.12)

Уравнение (6.12) подставим в (6.11) и выразим через :

(6.13)

В результате решения уравнений найдем комплексную передаточную функцию по петле обратной связи:

(6.14)

С помощью среды Mathcad построим годограф по петле обратной связи первого звена фильтра (рис. 6.4.). Исходные данные:

Рис. 6.4.

Поскольку годограф не охватывает точку (1; j0), то по критерию Найквиста данная цепь устойчива.