1. Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии
Рассмотрим нормально распределенную последовательность случайных величин xi, i=1,2,...,n. Среднее значение случайной величины x
будет распределено так же по нормальному закону с параметрами
Следовательно, для определения границ доверительного интервала с учетом симметрии нормального распределения и заданного значения доверительной вероятности получим выражение
.
(3)
Значение Т2, при котором будет выполнятся последнее равенство, будет верхней границей доверительного интервала., нижняя граница в силу симметрии распределения будет равна Т1=-Т2. Для того, чтобы найти значение Т2, введем замену переменной
.
С учетом, сделанной замены выражение (3) примет вид
Последний интеграл подробно табулирован, и по заданному значению РДОВ можно определить пользуясь таблицей, значение Z2. Z1 соответственно будет равно -Z2.
Фрагмент таблицы нормального распределения
|
x |
P(x) |
x |
P(x) |
x |
P(x) |
|
0.00 |
0.0000 |
0.30 |
0.2358 |
0.60 |
0.4615 |
|
01 |
0.0080 |
31 |
0.2434 |
61 |
0.4581 |
|
02 |
0.0160 |
32 |
0.2510 |
62 |
0.4647 |
|
03 |
0.0239 |
33 |
0.2586 |
63 |
0.4713 |
При определенных значениях Z2, Z1 выражение для доверительного интервала, внутри которого с вероятностью РДОВ могут лежать значения математического ожидания, будет иметь вид
2 Доверительный интервал для среднего при неизвестной дисперсии
Закон распределения среднего значения в этом случае не известен. Однако, как было показано выше, для последовательности нормально распределенных случайных величин статистика
будет распределена по закону Стьюдента. Поскольку распределение Стьюдента симметрично, то для определения верхней границы получим выражение
.
Распределение Стьюдента подробно табулировано. Для определения значения верхней границы доверительного интервала Т2 необходимо знать значение РДОВ и число степеней свободы , равное n-1, где n объем выборки, по которой определяется среднее значение х.
Фрагмент таблицы распределения Стьюдента (приложение 4)
(4)
|
|
P | ||||
|
|
0.70 |
0.80 |
0.90 |
0.95 |
0.98 |
|
1 |
1.963 |
3.078 |
6.314 |
12.706 |
31.821 |
|
2 |
1.386 |
1.886 |
2.920 |
4.303 |
6.965 |
|
..... |
............. |
............. |
............. |
............. |
............. |
|
29 |
1.055 |
1.311 |
1.699 |
2.045 |
2.462 |
|
30 |
1.055 |
1.310 |
1.697 |
2.042 |
2.457 |
|
|
1.036 |
1.281 |
1.644 |
1.959 |
2.326 |
Следует отметить, что при технических расчетах значение РДОВ обычно принимают равным 0,95. При определенном из (4) значении Т2 выражение для доверительного интервала примет вид
