ПРоверка гипотез о виде закона распределения случайной величины

Как было отмечено выше, существенным условием при получении интервальных оценок статистических характеристик случайной величины является условие нормальности распределения случайной величины. В связи с этим возникает необходимость проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины.

Наиболее распространенными критериями проверки вида закона распределения случайной величины являются:

• Критерий Пирсона (критерий ² ).

• Критерий Колмогорова.

Следует отметить, что при использовании данных и подобных им критериев проверяется гипотеза о том, что экспериментальные данные не противоречат проверяемой гипотезе. Следовательно одной и той же гипотезе могут удовлетворять (особенно при не очень больших объемах выборки) экспериментальные данные имеющие различные законы распределения (см. приложения 8,9).

1. Критерий пирсона

В соответствии с критерием, область в пределах которой лежат значения выборки случайных величин x_i, i=1,2,......,n, разбивается на m интервалов (не обязательно равных). Положим для простоты, что интервалы одинаковы, тогда длина интервала будет равна

.

Обозначим через m_k число попаданий случайной величины x_i в k- тый интервал _K, тогда случайная величина

,

где вероятность попадания случайной величиныx в k-тый интервал

.

W_T - аналитическое выражение для плотности вероятности случайного процесса, на соответствие которой проверяют экспериментальные данные. При достаточно большом объеме выборки n30 случайная величина будет распределена по закону хи - квадрат с числом степеней свободы, равным

,

где r - число связей, определяемых, как число параметров теоретической плотности вероятности, вычисляемых по выборке случайной величины.

Рис.1.

Так, например, для задания нормального закона распределения необходимо знать два параметра - математическое ожидание и дисперсию. Если значения математического ожидания и дисперсии неизвестны до эксперимента, то их оценки определяют из выборки случайной величины и, следовательно, r равно 2.

При использовании критерия Пирсона гипотеза о том, что экспериментальные данные имеют теоретический закон распределения, принимается, если , гдетабличное значение распределения хи - квадрат с степенями свободы и доверительной вероятностью, равной Р. В противном случае гипотеза отвергается.

Недостатком критерия Пирсона является то, что экспериментальные данные необходимо разбивать на группы, а поскольку строгого критерия, в соответствии с которым это можно было бы сделать нет, то возникает определенный субъективизм при применении этого критерия. В литературе по метрологии предлагаются различные критерии выбора числа интервалов m

где - контр эксцесс, определяемый выражением

.

Научно исследовательский институт метрологии предлагает следующую схему выбора m в зависимости от объема выборки n

n	m
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	1-16
1000-10000	12-22