4.5. Сітьове планування за умов ризику щодо тривалостей операцій

У практичному застосуванні сітьового планування виконання проекту часом трапляються ситуації, коли одна або декілька робіт можуть бути не детермінованими. Тобто тривалість роботи є випадковою величиною з проміжку , яка має  - розподіл з параметрами  та .

Функція щільності імовірностей  - розподіленої на відрізку випадкової величини визначається у вигляді:

( 4.20)

де В, ,   0; В визначається через параметри розподілу  та  за формулою:

(4.21)

Графік цієї функції наведено на рис. 4.21.

Рис. 4.21.

Статистичні характеристики  - розподіленої випадкової величини обчислюються за формулами:

• очікуване значення: (4.21)

• стандартне відхилення: , (4.22)

де - модальне (найімовірніше) значення цієї випадкової величини.

У методі PERT параметри  і  приймають значення:

.

Таким чином, для знаходження статистичних характеристик випадкової величини тривалості роботи потрібно визначити (як правило, експертним методом) лише три її оцінки:

• оптимістичну (найменше значення) - ,

• песимістичну (найбільше значення) - ,

• модальну (найімовірніше значення) - .

На основі наведених оцінок статистичні характеристики випадкової тривалості роботи обчислюються за формулами:

• очікуване значення:

, (4.23)

• стандартне відхилення:

. (4.24)

Якщо тривалості робіт є не детермінованими, тривалість Т виконання проекту теж буде недетермінованою, тобто її слід розглядати як випадкову величину. Статистичні характеристики цієї випадкової величини обчислюються за результатами дослідження сітьового графіка. Якщо у сітьовому графіку за тривалості виконання робіт обрати їх очікувані значення, очікувана тривалість виконання проекту збігатиметься з довжиною відповідного критичного шляху.

Дисперсію випадкової величини тривалості виконання проекту Т обчислюють у припущенні про статистичну незалежність випадкових термінів виконання окремих робіт. Ця дисперсія є сумою дисперсій тривалостей тих робіт, які утворюють критичний шлях у сітьовому графіку з очікуваними тривалостями виконання робіт:

, (4.25)

де - множина дуг, які утворюють критичний шлях.

Примітка. Якщо критичних шляхів декілька, слід обрати шлях із найбільшою дисперсією довжини.

Оскільки на тривалість Т виконання проекту впливає велика кількість різних чинників, вводиться припущення, що Т є нормально розподіленою випадковою величиною. Це припущення дозволяє, зокрема, оцінювати імовірності подій завершення проекту до певної календарної дати або у певний проміжок часу. При оцінюванні подібних імовірностей корисно пам’ятати про правила сігм, які притаманні нормальному розподілу:

• правило однієї сігми:

• правило двох сігм:

• правило трьох сігм:

Приклад 4.5. Розглянемо проект, який складається з восьми робіт. Структурна схема проекту та оцінки тривалостей виконання його робіт наведено у таблиці 6.8.

Потрібно визначити:

• очікувану тривалість виконання проекту;

• імовірність події, що фактична тривалість не перевищуватиме очікувану більше ніж на 2 тижні.

Таблиця 4.6

Робота	Роботи, які безпосередньо передують заданій	Тривалість виконання, тижнів
		Мінімальна	Найімовірніша	Максимальна
Р-1	-	3	5	7
Р-2	-	5	8	12
Р-3	-	2	6	7
Р-4	Р-1	7	9	14
Р-5	Р-2	4	6	11
Р-6	Р-3	9	16	20
Р-7	Р-4, Р-5	2	3	4
Р-8	Р-6, Р-7	6	10	18

Розв’язування. Побудуємо сітьову модель проекту (рис. 4.22) та обчислимо за формулами (4.23), (4.24) статистичні характеристики (очікувані значення і стандартні відхилення) випадкових величин – тривалостей виконання кожної із робіт (див. таблицю 4.7).

2 Р-4

Р-1 5

Р-5 Р-7

Р-2 Р-8

1 3 6 7

Р-3 Р-6

4

Рис. 4.22

Таблиця 4.7

Робота	Очікувана тривалість	Стандартне відхилення тривалості
Р-1	5,0	0,67
Р-2	9,5	1,83
Р-3	5,5	0,83
Р-4	9,5	1,17
Р-5	6,5	1,17
Р-6	15,5	1,83
Р-7	3,0	0,33
Р-8	10,5	1,83

Побудуємо сітьовий графік проекту, обравши очікувані тривалості виконання робіт; обчислимо часові характеристики усіх його подій (вершин) і позначимо критичний шлях (рис. 4.23).

8,5

5,0

18,0

16,0

2 9,5

5,0 5

11,5

9,5

6,5 3,0

21,0

21,0

0

0

31,5

31,5

9,5

1 3 15,5 6 10,5 7

5,5

5,5

5,5

4

Рис. 4.23.

Критичний шлях проекту утворюють дуги 1  4, 4  6 та 6  7. Тому очікувана тривалість виконання проекту дорівнює:

(тижнів).

Обчислимо дисперсію випадкової величини Т-тривалості виконання проекту:

.

Отже, стандартне відхилення випадкової величини Т тривалості виконання проекту дорівнюватиме:

(тижні).

Обчислимо імовірність події, що проект буде завершено не пізніше, аніж за 31,5 + 2 = 33,5 тижнів. Для цього скористаємося функцією розподілу імовірностей нормальної випадкової величини Т з параметрами = 31,5 та = 2,73. Маємо:

,

тобто шукана імовірність є достатньо високою.

Задачу розв’язано.