4.3 Часові характеристики подій, тривалість виконання комплексу робіт

Часовими характеристиками подій – вершин сітьового графіка – є ранні та пізні терміни настання відповідних подій, пов’язаних із виконанням проекту, та резерви часу цих подій.

Ранній термін настання події – це такий момент часу, коли буде завершено усі роботи, що обумовлюють цю подію. Ранні терміни настання подій обчислюються рекурентно за формулами:

, (4.1)

де п – загальна кількість вершин сітьового графіка, - множина його дуг, - позначення такої дуги, яка виходить з вершини і та входить у j-ту вершину графа, - тривалість виконання роботи i  j, Е(і) – ранній термін настання і-ої події, відповідно, Е (j) – ранній термін настання j-ої події (і, j = 1, 2, ..., п).

Тривалість виконання комплексу робіт Т* дорівнює ранньому терміну настання його кінцевої події. Таким чином,

Т* = Е(п). (4.2)

Пізній термін настання події – це момент часу, перевищення якого при настанні цієї події призведе до затримки з виконанням проекту у цілому. Пізні терміни настання подій обчислюються рекурентно за формулами:

, (4.3)

де, як і раніше, і та j – номери вершин сітьового графіка; ( ) – пізній термін настання і-ї (j-ої) події (і = 1, 2, ..., п).

Резерв часу R(i) події і визначається як різниця між її пізнім та раннім термінами настання:

R(і )= - Е(і), і = 1, 2, ..., п. (4.4)

Події, які не допускають аніякої затримки з їх настанням, називаються критичними. Для кожної критичної події її резерв часу дорівнює нулю:

якщо - критична подія (4.5)

Приклад 4.2. Обчислимо числові характеристик подій та тривалість виконання проекту, сітьовий графік якого було наведено на рисунку 4.11.

Ранні терміни настання подій розшукуються за сітьовим графіком методом обчислень у прямому порядку від початкової до кінцевої події:

Е(1) = 0,

Е(2) = Е(1) + t(1, 2) = 0 + 12,

Е(3) = тах{Е(1) + t(1, 3); Е(2) + t(2, 3)} = тах{0 + 20; 12 + 0} = 20,

Е(4) = тах{Е(1) + t(1, 4); Е(2) + t(2, 4)} = тах{0 + 27; 12 + 0} = 27,

Е(5) = Е(3) + t(3, 5) = 20 + 7 = 27,

Е(6) = Е(4) + t(4, 6) = 27 + 14 = 41,

Е(7) = тах{Е(5) + t(5, 7); Е(6) + t(6, 7)} = тах{27 + 13; 41 + 0} = 41,

Е(8) = тах{Е(6) + t(6, 8); Е(7) + t(7, 8)} = тах{41 + 11; 41 + 15} = 56.

Тривалість виконання комплексу робіт співпадає з раннім терміном настання останньої – восьмої – події. Отже,

Т* = 56.

Пізні терміни настання подій розшукуються за сітьовим графіком методом обчислень у зворотному порядку від кінцевої до початкової події:

L(8) = T* = 56,

L(7) = L(8) – t(7,8) = 56 – 15 = 41,

L(6) = min {L(8) - t(6,8); L(7) - t(6,7)} = min {56 – 11; 41 - 0} = 41,

L(5) = L(7) - t(5,7) = 41 – 13 = 28,

L(4) = L(6) - t(4,6) = 41 – 14 = 27,

L(3) = L(5) - t(3,5) = 28 – 7 = 21,

L(2) = min {L(4) - t(2,4); L(3) - t(2,3)} = min {27 – 0; 21 - 0} = 21,

L(1) = min {L(4) - t(1,4); L(3) - t(1,3); L(2) - t(1,2)} =

= min {27 – 27; 21 – 20; 21 - 12} = 0.

Покажемо терміни настання подій на сітьовому графіку (рис.4.12). На цьому рисунку також виділено вершини, які відповідають критичним подіям (для таких подій ранній термін настання Е співпадає з їх пізнім терміном настання L).

21

20

28

27

41

41

3

5

7

7 13

20

15

0

0

0

56

56

21

12

0

12

1

2

8

0

27

11

27

27

41

41

14

4

6

Рис. 4.12.

Н

Е

L

а рисунку 6.15 для кожного комплексу робіт надано ранній (Е) та пізні (L) терміни настання подій (критичні події 1, 4, 6, 7 та 8 виділено).

Ранні та пізні терміни настання подій, а також їхні резерви часу наведено у таблиці 4.3.

Таблиця 4.3

Подія і	Ранній термін настання Е(і)	Пізній термін настання L(і)	Резерв часу R(i) = L(i) – E(i)	Примітка
1	0	0	0	Критична подія
2	12	21	9
3	20	21	1
4	27	27	0	Критична подія
5	27	28	1
6	41	41	0	Критична подія
7	41	41	0	Критична подія
8	56	56	0	Критична подія, її ранній термін настання визначає тривалість виконання усього комплексу робіт

Після обчислення часових характеристик подій визначають часові характеристики кожної з робіт проекту.

За аналогією до подій, усі роботи проекту також розподіляються на критичні та некритичні. Критичні роботи не мають резерву часу на їх виконання. Навпаки, некритичні роботи мають певний резерв часу, тобто деяке запізнення з їх завершенням не призводитиме до затримки із виконанням проекту у цілому. Серед часових характеристик робіт розрізняють повний, вільний та незалежний резерви. Усі ці резерви часу обчислюються на основі даних про ранні та пізні терміни настання відповідних подій.

Повний резерв часу М(і, j) роботи (і, j) – це максимально можлива затримка у виконанні цієї роботи, яка не призведе до затримки із виконанням усього проекту за умов, що тривалість інших робіт не змінюватиметься:

М(і, j) = L(j) - Е(і) - t(і, j), (4.6)

де L(j) – пізній термін настання j-ї події, яка є кінцевою для роботи (і, j); Е(і) – ранній термін настання і-ої події, яка є вихідною для цієї роботи;

t (і, j) – нормативна тривалість виконання відповідної роботи.

Для кожної критичної роботи її повний резерв часу дорівнює нулю:

для всіх , (4.7)

де - множина усіх критичних робіт проекту.

Шлях від початкової вершини до кінцевої, який складається лише із критичних робіт, називається критичним шляхом сітьового графіка. Довжина критичного шляху збігається із тривалістю виконання усього комплексу робіт Т*.

Примітка. Сітьовий графік може мати декілька різних критичних шляхів. Довжина кожного з них також дорівнює тривалості виконання усього проекту.

Вільний резерв часу N(i, j) роботи (i, j) – це така максимально можлива затримка із виконанням цієї роботи, яка не впливає на терміни виконання усіх наступних робіт:

N(i, j) = E(j) – E(i) – t(і, j). (4.8)

Незалежний резерв часу Р(i, j) роботи (i, j) характеризує таку максимально можливу затримку із виконанням цієї роботи, яка не впливає на терміни виконання усіх інших робіт проекту:

Р(і, j) = max {0; E(j) – L(i) – t(і, j)} (4.9)

Для кожної з робіт усі три види резервів часу задовольняють нерівність:

M(і, j) ≥ N(і, j) ≥ Р(і, j) ≥ 0 (4.10)

Приклад 4.3. Зведемо разом усі часові характеристики робіт (дуг) сітьового графіка, наведеного на рисунку 6.16. Такими характеристиками роботи (i, j) є:

• тривалість − t(і, j);

• ранній термін початку – раніше якого розпочати роботу неможливо – Е(і);

• пізній термін закінчення – перевищення якого призведе до затримки із завершенням проекту в цілому – L(j);

• усі резерви часу - M(і, j), N(і, j) та Р(і, j), які розраховуються за формулами (6.12), (6.14), (6.15).

Для роботи (3, 5) маємо:

t (3, 5) = 7; Е(3) = 20; L(5) = 28;

М(3, 5) = 28 – 20 – 7 = 1; N(3, 5) = 27 – 20 – 7 = 0;

Р(3, 5) = мах{0; 27 – 21 – 7} = 0.

Резерви часу усіх дуг сітьового графіка та критичний шлях 14678 показано на рис. 4.13. Часові характеристики усіх робіт проекту, що розглядається, наведено у таблиці 6.6.

Н

Е

L

а сітьовому графіку комплексу робіт застосовано позначення: ранній та пізній терміни настання подій ;

резерви часу робіт: М N Р , де

M- повний резерв, N – вільний, P – незалежний;

роботи критичного шляху (1-4; 4-6; 6-7; 7-8) виділено.

21

20

28

27

41

41

3

5

7

13

7

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

15

20

0

0

21

12

0

0

0

9

8

8

0

56

56

12

0

0

0

1

2

8

9

0

0

5

5

6

0

27

11

27

27

41

41

0

0

0

4

4

4

14

4

6

0

0

0

Рис. 4.13. Таблиця 4.4

Робота (і, j)	Трива-лість t(і, j)	Ранній термін настання Е(і)	Пізній термін закінчення L(j)	Резерви часу			Примітки
				Повний М(і, j)	Вільний N(і, j)	Не залеж-ний Р(і, j)
(1,2)	12	0	21	9	0	0
(1,3)	20	0	21	1	0	0
(1,4)	27	0	27	0	0	0	критична
(2,3)	0	12	21	9	8	8	фіктивна
(2,4)	0	12	27	15	15	6	фіктивна
(3,5)	7	20	28	1	0	0
(4,6)	14	27	41	0	0	0	критична
(5,7)	13	27	41	1	1	0
(6,7)	0	41	41	0	0	0	фіктивна, критична
(6,8)	11	41	56	4	4	4
(7,8)	15	41	56	0	0	0	критична