2. Сітьова модель та сітьовий графік
Сітьова модель комплексу робіт – це наочне відображення взаємозв’язку між окремими роботами та послідовності їх виконання. Сітьову модель будують у вигляді орієнтованого графа. Елементами графа є вершини та дуги. Вершини графа відповідають певним подіям, пов’язаним із виконанням проекту. Дуги графа відповідають окремим роботам. Вважається, що роботи, які витікають із деякої події, не можна розпочинати раніше, аніж буде закінчено всі роботи, які притікають до цієї події. Інколи поряд з реальними до сітьової моделі необхідно включити фіктивні роботи. Фіктивні роботи не вимагатимуть витрат часу або ресурсів, а використовуються лише для того, щоб показати, що певна подія (група подій) не може статися раніше, аніж відбудеться деяка інша подія (група подій).
При побудові сітьової моделі слід дотримуватися таких шести правил:
кожна робота повинна бути представлена однією і лише однією дугою;
довільні дві роботи повинні розрізнятися принаймні або початковими, або кінцевими подіями;
кожну пару вершин не можна з’єднувати двома дугами;
не повинно бути вершин, крім однієї – початкової, у які не входить жодна дуга;
не повинно бути вершин, крім однієї – кінцевої, з яких не виходить жодна дуга;
граф не повинен містити замкнених контурів (замкнений контур – це така неперервна послідовність дуг, яка починається та закінчується в одній і тій самій вершині).
Спрямовувати дуги рекомендується зліва направо – так, щоб початкова вершина кожної дуги була розміщеною ліворуч від її кінцевої вершини. Бажано також, щоб дуги сітьової моделі не перетиналися між собою (при побудові складних сітьових моделей це правило є бажаним, але не обов’язковим).
Наведемо деякі поради щодо побудови сітьової моделі. [4].
Правило побудови сітки:
1. Ніякі дві роботи не можуть бути ідентифіковані одними і тими ж подіями.
Це означає, що дільниця сітки вигляду (рис.4.1) невірно відтворює дві одночасно завершувальні роботи.
робота 1
А В
робота 2
Рис. 4.1.
В такому випадку дільниця сітки повинна мати фіктивну роботу і наступний вигляд (рис. 4.2).
k
фіктивна
робота
i
j
Рис. 4.2.
Фіктивна робота не вимагає ні часу, ні ресурсів і вводиться з метою однозначності подій, що зв’язані з завершенням робіт. Такий прийом використовується в ситуаціях, коли роботи 3 і 4 повинні наступати за роботою 2, але робота 1 не обов’язково повинна передувати роботі 4 (рис. 4.3).
i
k
j
Рис. 4.3.
робота 3
робота
1
i
j
робота 2
k
робота 4
Рис. 4.4.
З сітки (рис. 4.4) виходить, що робота 3 може початися після роботи 1, а робота 4 – після роботи 2.
2. Відношення передування – слідування повинні дотримуватися на всій сітці.
Розглянемо дві дільниці сітки (рис. 4.5, рис. 4.6).
робота
4
робота 3
робота 2 робота 5
Рис. 4.8.
На рис. 6.8 робота 5 наступає за роботами 2 і 4, для яких попередньою є робота 3.
робота 4
робота 3
робота 2 робота 5
Рис. 4.9.
Кожна робота позначається номером подій, які відповідають їх початку і завершенню, робота 2 на рис. 6.9 позначається j k, робота 3 - i j.
Критичними вважаються роботи, затримка виконання яких приводить до еквівалентної затримки виконання всього проекту. Шлях через сітку, який включає критичні роботи, називається критичним шляхом.
В невеликих сітках критичний шлях легко визначається, якщо задані моменти часу настання всіх подій і всі роботи характеризуються самим раннім (допустимим) моментом початку.
В великих системах критичний шлях це шлях з нульовим резервом часу.
Резерв часу – це кількість часу, на протязі якого робота може затримуватися, не визиваючи збільшення часу завершення проекту.
Завершує побудову сітьової моделі нумерація вершин графа, який відповідає послідовності виконання робіт. Нумерація вершин повинна бути такою, щоб зростання номерів відповідало процесу виконання проекту. Це означає, що після нумерації вершин для кожної дуги i j повинна виконуватися умова: i < j.
Алгоритм нумерації вершин:
Крок 1. Привласнити початковій вершині номер 1.
Крок 2. Привласнити черговий номер довільній не занумерованій вершині, для якої всі попередні вершини вже занумеровані.
Крок 2 слід повторювати до тих пір, доки усі вершини не будуть занумеровані. Кінцева вершина завжди отримає останній (найбільший) номер.
Приклад 4.1. Нехай маємо комплекс робіт, структурна схема якого показана у таблиці 4.1. Потрібно побудувати сітьову модель цього комплексу робіт.
Таблиця 4.1
Робота |
Роботи, які безпосередньо передують заданій |
Тривалість виконання, днів |
Р-1 |
- |
20 |
Р-2 |
- |
12 |
Р-3 |
- |
27 |
Р-4 |
Р-1, Р-2 |
7 |
Р-5 |
Р-2, Р-3 |
14 |
Р-6 |
Р-4 |
13 |
Р-7 |
Р-5, Р-6 |
15 |
Р-8 |
Р-5 |
11 |
Побудуємо сітьову модель. Насамперед уведемо початкову вершину, яка означатиме початок виконання комплексу робіт. З цієї вершини можуть витікати три дуги, які відповідають роботам Р-1, Р-2 та Р-3, оскільки кожній з них не передує жодна з робіт комплексу. Уведемо далі три вершини, які означатимуть закінчення кожної з цих робіт. Тоді початковий фрагмент сітьової моделі матиме такий вигляд, як це показано на рис. 4.7.
Р-1
Р-2
Р-3
Рис. 4.7.
Врахуємо, що роботу Р-4 можна розпочинати після закінчення робіт Р-1 та Р-2, а роботу Р-5 – після закінчення робіт Р-2 і Р-3. Тому для зображення робіт Р-4 та Р-5 до сітьової моделі слід додатково ввести фіктивні роботи Ф-1 та Ф-2. Черговий фрагмент сітьової моделі показано на рисунку 4.8.
Роботу Р-6 можна розпочинати після закінчення роботи Р-4. Тому початок дуги, яка відповідатиме Р-6, може співпадати з вершиною, яка відповідає закінченню Р-4. Робота Р-7 слідує після закінчення Р-5 та Р-6, а робота Р-8 – після закінчення лише Р-5. Тому для відбиття можливості розпочинати Р-7 потрібно ввести фіктивну роботу Ф-3. Роботи Р-7 та Р-8 не передують жодній з інших робіт. Отже, їх кінцеві вершина можна об’єднати, що відповідатиме події завершення усіх робіт. Повністю граф послідовності виконання всіх робіт комплексу наведено на рисунку 4.9.
Р-4
Р-1
Ф-1
Р-2
Ф-2
Р-3
Р-5
Рис. 4.8.
Р-4
Р-6
Р-1 Р-7
Ф-1 Ф-3
Р-2
Ф-2 Р-8
Р-3
Р-5
Рис. 4.9.
Для графа, наведеного на рис. 4.9 алгоритм нумерації вершин призведе до сітьової моделі, показаної на рис. 4.10. Ця сітьова модель містить 11 дуг та 8 вершин.
Р-4
Р-6
Р-1
Р-7
Ф-1 Ф-3
Р-2
Р-8
Р-3 Ф-2
Р-5
Рис. 4.10.
Щоб перетворити сітьову модель на сітьовий графік, потрібно на її дугах зазначити тривалості виконання відповідних робіт (наведено у таблиці 6.3), після чого для отриманого сітьового графіка (рис.4.11) доцільно побудувати таблицю з характеристикою усіх його дуг (таблиця 6.4).
7
13
20 15
0 0
2
0 11
27
14
Рис. 4.11.
Таблиця 4.2
Дуга*/ |
Робота |
Тривалість виконання, днів |
(1,2) |
Р-2 |
12 |
(1,3) |
Р-1 |
20 |
(1,4) |
Р-3 |
27 |
(2,3) |
фіктивна |
0 |
(2,4) |
фіктивна |
0 |
(3,5) |
Р-4 |
7 |
(4,6) |
Р-5 |
14 |
(5,7) |
Р-6 |
13 |
(6,7) |
фіктивна |
0 |
(6,8) |
Р-8 |
11 |
(7,8) |
Р-7 |
15 |
Після побудови сітьового графіка комплексу робіт обчислюють часові характеристики його вершин та дуг, тобто часові характеристики подій та робіт проекту.