Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Дискретний аналіз Частина 3. Основні поняття теорії графів

Курс лекцій

для студентів напрямів підготовки 6.040301 "Прикладна математика", 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем"

Рекомендовано Методичною радою НТУУ «КПІ»

Київ

НТУУ «КПІ»

2012

Дискретний аналіз: Частина 3: Основні поняття теорії графів: Курс лекцій для студентів напрямів підготовки 6.040301 "Прикладна математика", 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем" / Уклад. М.К.Мороховець. – К.: НТУУ «КПІ», 2012. – 87 с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ»

(протокол № 8 від 26 квітня 2012 р.)

Навчальне видання

Дискретний аналіз

Частина 3. Основні поняття теорії графів

Курс лекцій

для студентів напрямів підготовки 6.040301 "Прикладна математика", 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем"

Укладач	Мороховець Марина Костянтинівна
Рисунки виконав	К.О.Панков

Відповідальний редактор

М.М. Савчук, д-р фіз.-мат. наук

Рецензенти	М.М.Глазунов, д-р фіз.-мат. наук
	А.М.Чеботарьов, д-р техн. наук

Передмова

У даному навчальному виданні викладено базові поняття теорії графів, які необхідні кожному, хто використовує графові моделі або займається їх розробкою. Подання матеріалу розраховано на початківців: від читача не вимагається спеціальної підготовки у галузі теорії графів. Теоретичні відомості подаються окремими частинами, викладення теоретичного матеріалу супроводжується прикладами; розглядаються типові навчальні задачі та способи їх розв’язання. Після кожної частини є розділ, що містить контрольні питання, які допомагають виділити основне у прочитаному та запам’ятати нові поняття. Для кращого засвоєння матеріалу, формування практичних навичок його застосування, а також для підготовки до контрольних заходів (самостійних, контрольних робіт, усних опитувань) рекомендується виконувати вправи та розв’язувати задачі, подані до кожної частини після контрольних питань.

Крім основного матеріалу, видання містить кілька довідкових розділів, а саме: «Символи та позначення», «Предметний покажчик», «Слова іншомовного походження». Мета включення цих розділів – полегшити користування виданням. У розділі «Символи та позначення» зібрані позначення, які уведені у різних частинах основного тексту; разом з кожним позначенням наведено його тлумачення. Розділ «Предметний покажчик» містить перелік усіх понять теорії графів, означення яких наведено у основному тексті; для кожного поняття дано посилання на сторінку, де це поняття з’являється вперше. У розділі «Слова іншомовного походження» пояснюється походження запозичених з іноземних мов слів-термінів, що зустрічаються у основному тексті.

Поняття неорієнтованого графу. Різновиди, способи подання та перетворення неорієнтованих графів Поняття неорієнтованого графу

Неупорядкованою парою об’єктів х та y (позначається (x,y)) будемо називати сукупність двох об’єктів (не обов’язково різних), порядок розташування яких значення не має, тобто неупорядкована пара виду (y,х) – це те саме, що й неупорядкована пара (x,y). Поняття неупорядкованої пари можна поширити й розглядати для будь-якого цілого додатного числа n2 неупорядковану n-ку об’єктів х₁,…,х_n (позначається (х₁,…,х_n)).

Нехай V – деяка множина. Позначимо через V⁽²⁾ множину усіх неупорядкованих пар елементів множини V. Наприклад, якщо V={a,b,c}, то V⁽²⁾={(a,a), (a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)}.

Неорієнтованим графом (або графом) будемо називати упорядковану пару множин виду (V,E), де V, Е  V⁽²⁾. Множина V називається множиною вершин, а її елементи – вершинами графу; множина Е називається множиною ребер, а її елементи – ребрами графу. Якщо (u,v)E, то вершини u та v називаються кінцями ребра (u,v). Ребро виду (u,u) називається петлею.

Прикладом графу є пара множин ({a,b,c},{(a,b),(c,b),(c,a)}), оскільки перша множина не порожня, а друга складається з неупорядкованих пар елементів першої множини. Пара множин ({a,b,c},{(b,a),(a,c)}) також є графом. Множини {a,b,c} та {(b,a),(a,е)} не утворюють граф, тому що друга множина містить пару (а,е), що складається з об’єктів а та е, але е{a,b,c}.

Граф може мати ім’я. Зазвичай імена графів позначаються великими латинськими літерами, що можуть мати індекси. На письмі ім’я графу розміщується перед графом, й між ними ставиться знак «=». Наприклад, запис G=({a,b,c},{(a,b),(a,c)}) означає, що графу ({a,b,c},{(a,b),(a,c)}) дано ім’я G. Ім’я графу можна використовувати замість самого графу. Одному й тому самому графові можна дати кілька імен.

Нехай G=(V,E) – граф, u,vV. Назвемо вершини u та v суміжними, якщо (u,v)E. Зауважимо, що коли вершини u та v суміжні, то й v та u суміжні. Вершина u та ребро (u,v) графу G називаються інцидентними. Ребра е₁ та е₂ графу G, що мають спільний кінець, назвемо суміжними.

Степенем вершини u графу G (позначається n(u)) називається потужність множини усіх інцидентних вершині u ребер. Вершина степеня 0 називається ізольованою. Вершина степеня 1 називається кінцевою. Кінцевим ребром графу назвемо ребро, інцидентне кінцевій вершині.

Нехай, наприклад, G=({a,b,c},{(a,b),(a,c)}). Вершини a та b суміжні, адже граф G має ребро (a,b), вершини a та c також суміжні, а вершини b та c несуміжні; визначимо степені вершин графу G: n(a)=2, оскільки у графі G є два ребра, що інцидентні вершині a, n(b)=1, n(c)=1. Вершини b та c є кінцевими. Граф G не має ізольованих вершин (степені усіх його вершин додатні). Ребра (a,b) та (a,c) суміжні, бо мають спільний кінець, яким є вершина а.

Порядком графу G=(V,E) називається потужність |V| множини його вершин. Якщо |V|N⁺, то граф називається графом скінченного порядку, або скінченним. Наприклад, граф G=({a,b,c},{(a,b),(a,c)}) має порядок три, тому що |{a,b,c}|=3; граф (N,{(x,y)| х,уN, (x–y) – парне число}) є графом нескінченного порядку (нескінченним), бо множина його вершин нескінченна.